例2 （2024·北京海淀一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转一定的角度α（0°＜α≤60°）得到线段AD，点D关于直线BC的对称点为E，连接AE，DE.
（1）如图①，当α=60°时，请用等式表示线段AE与BD之间的数量关系，并给出证明；
（2）连接BD，根据题意补全图②，若AE=BD，求α的大小.

分析 （1）连接BE，证明△BDE为等边三角形，再证明∠AEB=90°，将问题转化为判断线段AE与BE的数量关系即可；
（2）延长AC至点F，使CF=AC，连接BF，BE，EF，CD，CE，证明△DAC≌△EFC，△BEF≌△AEF，得α=∠DAC=∠EFC=∠BFE=30°.

（1）AE=√3 BD；（2）α=30°.

（1）AE=√3 BD.
证明：设AC=AD=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=90°，则AB=2x，BC=√3 x.
∵AC绕点A顺时针旋转60°得AD，∴△ACD为等边三角形，CD=AC=x，∠ACD=60°.
∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°.
∵D，E关于BC对称，∴CE=CD=x，∠BCE=∠BCD=30°，BD=BE.
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=120°，在△ACE中，AE²=AC²+CE²-2AC·CE·cos120°=x²+x²-2x²·(-1/2)=3x²，∴AE=√3 x.
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC·CD·cos30°=(√3 x)²+x²-2·√3 x·x·(√3/2)=3x²+x²-3x²=x²，∴BD=x.
∴AE=√3 BD.
（2）α=30°.
补全图形（略）.
延长AC至F，使CF=AC，连接BF，BE，EF，CD，CE.
∵AC=CF，∠ACB=90°，∴BC垂直平分AF，BF=AB=2AC.
∵D，E关于BC对称，∴CE=CD，∠BCE=∠BCD.
设∠CAD=α，AC=AD=1，则∠ACD=(180°-α)/2=90°-α/2，∠BCD=90°-∠ACD=α/2，∠ECF=90°-α/2=∠ACD.
∴△DAC≌△EFC（SAS），EF=AD=1，∠EFC=α.
∵AF=AB=2，AE=BD=BE，∴△AEF≌△BEF（SSS），∠AFE=∠BFE=30°.
∵∠EFC=∠AFE=30°，∴α=30°.