例3 （2023·河北）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=2√{11}，CD=12，AD=6，∠A=90°，点M在边AD上，且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A'MA的平分线MP所在直线交折线A-B-C于点P.设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A'P.
（1）若点P在AB上，求证：A'P=AP；
（2）如图②，连接BD.
①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时x的值；
②若点P到BD的距离为2，求tan∠A'MP的值.

分析 （1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到A'M=AM，∠A'MP=∠AMP，然后证明△A'MP≌△AMP（SAS），即可得到A'P=AP；
（2）①首先画出图形，然后证明△DNM∽△DBA，利用相似三角形的性质求出DN，MN的长，然后证明△PBN∽△DMN，利用相似三角形的性质求出PB的长，进而求解即可；
②分2种情况讨论：当点P在AB上时，分别求得BP，AP的长，根据正切的定义即可求解；当点P在BC上时，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H，证明△PQB∽△BAD，求得AQ的长，证明△HPQ∽△HMA，即可求解.

（1）证明：由旋转性质得MA'=MA，∵MP平分∠A'MA，∴∠A'MP=∠AMP。又MP=MP，∴△A'MP≌△AMP(SAS)，∴A'P=AP。
（2）①在Rt△ABD中，BD=√(AB²+AD²)=√(8²+6²)=10。∵BC²+BD²=(2√11)²+10²=44+100=144=12²=CD²，∴∠CBD=90°。当n=180时，x=13。
②7/6或23/6。