例4 （2024·成都）数学活动课上，同学们将两张完全相同的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一张纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.在三角形纸片ABC和三角形纸片ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.
（1）如图①，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转的过程中，试探究$\frac{BD}{CE}$的值.
（2）如图②，三角形在纸片ADE绕点A旋转的过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长.
（3）在三角形纸片ADE绕点A旋转的过程中，C，D，E三点能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.

分析 （1）证明△ADB∽△AEC，将$\frac{BD}{CE}$转化为$\frac{AB}{AC}$即可；
（2）连接CE，延长BM交CE于点Q，连接AQ交EF于点P，延长EF交BC于点N.由△ADB∽△AEC，得∠ABD=∠ACE，求出$BM=AM=CM=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，证明AB//CE，即可得△BAM≌△QCM，从而得矩形ABCQ，再证△EQP≌△ADP，求出AP，CN的长，最后由△APF∽△CNF求出CF的长即可；
（3）条件的本质是点D，E不动，点C在以点A为圆心，AC长为半径的圆上运动，分∠CDE=90°，∠CED=90°，∠DCE=90°三种情形讨论即可.

（1）$\frac{3}{5}$；（2）$\frac{70}{39}$；（3）4，12，16，$\frac{48}{13}$。

（1）在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°，由勾股定理得AC=AE=5。旋转中∠BAD=∠CAE，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$，故△ADB∽△AEC，$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$。
（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)，AC中点M(2,1.5)，BM方程为$y=\frac{3}{4}x$。设D(4t,3t)，由AD=3得$\sqrt{(4t)^2+(3t-3)^2}=3$，解得$t=\frac{18}{25}$，D($\frac{72}{25},\frac{54}{25}$)。E为D沿DE（向量$(\frac{28}{25},\frac{96}{25})$）平移得E(4,6)。直线ED：$y=\frac{24}{7}x-\frac{126}{35}$，与AC：$y=-\frac{3}{4}x+3$交于F($\frac{100}{39},\frac{14}{13}$)，CF=$\sqrt{(4-\frac{100}{39})^2+(0-\frac{14}{13})^2}=\frac{70}{39}$。
（3）能，面积为4，12，16，$\frac{48}{13}$。