15. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y=\frac{6}{x}(x ＞ 0)$ 的图象经过 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$ 两点.若$△ ABO$ 的面积为$\frac{9}{2}$，则$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{y_{1}}{y_{2}}$的值为.

$\frac{5}{2}$

∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在$y = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$上，
∴$x_1 y_1 = 6$，$x_2 y_2 = 6$。
$△ABO$的面积为$\frac{9}{2}$，由坐标面积公式得：
$\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1| = \frac{9}{2}$，即$|x_1 y_2 - x_2 y_1| = 9$。
∵$x ＞ 0$，不妨设$x_2 ＞ x_1$，则$x_2 y_1 - x_1 y_2 = 9$。
将$y_1 = \frac{6}{x_1}$，$y_2 = \frac{6}{x_2}$代入上式：
$x_2 · \frac{6}{x_1} - x_1 · \frac{6}{x_2} = 9$，化简得$6(\frac{x_2}{x_1} - \frac{x_1}{x_2}) = 9$，即$2(\frac{x_2}{x_1} - \frac{x_1}{x_2}) = 3$。
设$k = \frac{x_1}{x_2}$，则$\frac{x_2}{x_1} = \frac{1}{k}$，代入得$2(\frac{1}{k} - k) = 3$，整理得$2k^2 + 3k - 2 = 0$。
两边同除以$k$：$2k + 3 - \frac{2}{k} = 0$，即$k - \frac{1}{k} = -\frac{3}{2}$。
$(k + \frac{1}{k})^2 = (k - \frac{1}{k})^2 + 4 = (-\frac{3}{2})^2 + 4 = \frac{25}{4}$，
∵$k ＞ 0$，∴$k + \frac{1}{k} = \frac{5}{2}$。
即$\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2} = \frac{5}{2}$。

16. 如图，四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形，$E$ 是平面内一点，$AE = AB$，将 $EB$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$得到线段 $EF$，连接 $AF$.图中始终与$∠ AEF$ 相等的角是；当 $AF$ 的长最小时，$\tan∠ CDE$ 的值为.

∠ADB；√2 - 1

1. 求始终与∠AEF相等的角：
四边形ABCD为正方形，AE=AB=AD=2，E在以A为圆心、2为半径的圆上。将EB绕E顺时针旋转90°得EF，故EB=EF，∠BEF=90°。通过坐标法及向量计算，结合旋转性质和圆的性质，可证得∠AEF始终等于∠ADB（正方形对角线与边的夹角，为45°）。
2. 当AF长最小时，求tan∠CDE：
设E坐标为(2cosα, 2sinα)，通过旋转得到F坐标(2(cosα-sinα), 2(sinα+cosα-1))。AF长度平方为12 - 8(sinα+cosα)，当sinα+cosα最大（√2）时，AF最小，此时α=45°，E(√2, √2)。
D(0,2)，E(√2, √2)，向量DE=(√2, √2-2)，DC=(2,0)。tan∠CDE=|(√2-2)/√2|=√2-1。

三、解答题(本大题共 9 小题，共 98 分)
17. （本小题满分 10 分）
（1）计算：$(m + 3)(m - 3)+m(1 - m)$；
（2）解方程：$\frac{x}{x - 1}=\frac{3}{2x - 2}-2$.

（1）
$(m + 3)(m - 3) + m(1 - m)$
$= m^2 - 3m + 3m - 9 + m - m^2$
$= m - 9$
（2）
首先将方程两边同时乘以最简公分母$2(x - 1)$：
$\frac{x}{x - 1} × 2(x - 1) = \frac{3}{2x - 2} × 2(x - 1) - 2 × 2(x - 1)$，
化简得：
$2x = 3 - 4(x - 1)$，
去括号得：
$2x = 3 - 4x + 4$，
移项并合并同类项：
$6x = 7$，
解得：
$x = \frac{7}{6}$，
检验：当$x = \frac{7}{6}$时，$2(x - 1) ≠ 0$，
所以$x = \frac{7}{6}$是原方程的解。