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12. 如图，$AD$是$△ ABC$的高，$CE⊥ AC$，$AD = 12$，$AB = 13$，$BC = 14$。
(1) 求$△ ABD$的面积；
(2) 求$\cos∠ ACB$的值；
(3) 若$\sin E=\frac{15}{17}$，求$CE$和$AE$的长。
(1) 求$△ ABD$的面积；
(2) 求$\cos∠ ACB$的值；
(3) 若$\sin E=\frac{15}{17}$，求$CE$和$AE$的长。
答案
12. 解: (1) $ \because A D = 12 , A B = 13 $，$ \therefore B D = \sqrt { A B ^ { 2 } - A D ^ { 2 } } = 5 $，$ \therefore S _ { △ A B D } = \frac { A D · B D } { 2 } = \frac { 12 × 5 } { 2 } = 30 $.
(2) $ \because B C = 14 , B D = 5 $，$ \therefore D C = 9 $. 在 $ \mathrm { Rt } △ A D C $ 中，由勾股定理可求 $ A C = 15 $，$ \therefore \cos ∠ A C B = \cos ∠ A C D = \frac { D C } { A C } = \frac { 9 } { 15 } = \frac { 3 } { 5 } $.
(3) 由(2)可知 $ A C = 15 $. $ \because \sin E = \frac { A C } { A E } = \frac { 15 } { 17 } $，$ \therefore A E = 17 $，$ \therefore C E = \sqrt { A E ^ { 2 } - A C ^ { 2 } } = 8 $.
(2) $ \because B C = 14 , B D = 5 $，$ \therefore D C = 9 $. 在 $ \mathrm { Rt } △ A D C $ 中，由勾股定理可求 $ A C = 15 $，$ \therefore \cos ∠ A C B = \cos ∠ A C D = \frac { D C } { A C } = \frac { 9 } { 15 } = \frac { 3 } { 5 } $.
(3) 由(2)可知 $ A C = 15 $. $ \because \sin E = \frac { A C } { A E } = \frac { 15 } { 17 } $，$ \therefore A E = 17 $，$ \therefore C E = \sqrt { A E ^ { 2 } - A C ^ { 2 } } = 8 $.
解析
【解析】
(1) 因为$AD$是$△ ABC$的高，所以$△ ABD$是直角三角形。已知$AD=12$，$AB=13$，根据勾股定理可得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，再由三角形面积公式得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AD× BD=\frac{1}{2}×12×5=30$。
(2) 已知$BC=14$，$BD=5$，则$DC=BC-BD=14-5=9$。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，根据锐角三角函数定义，$\cos∠ ACB=\frac{DC}{AC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。
(3) 由(2)知$AC=15$，因为$CE⊥ AC$，所以$△ ACE$是直角三角形。已知$\sin E=\frac{AC}{AE}=\frac{15}{17}$，则$AE=\frac{AC}{\frac{15}{17}}=\frac{15}{\frac{15}{17}}=17$，再根据勾股定理得$CE=\sqrt{AE^2-AC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8$。
【答案】
(1) $△ ABD$的面积为$30$；
(2) $\cos∠ ACB$的值为$\frac{3}{5}$；
(3) $CE$的长为$8$，$AE$的长为$17$。
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查直角三角形的相关知识，需要熟练运用勾股定理、三角形面积公式及锐角三角函数定义，理清各边与角的关系，逐步求解各问，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 因为$AD$是$△ ABC$的高，所以$△ ABD$是直角三角形。已知$AD=12$，$AB=13$，根据勾股定理可得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，再由三角形面积公式得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AD× BD=\frac{1}{2}×12×5=30$。
(2) 已知$BC=14$，$BD=5$，则$DC=BC-BD=14-5=9$。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，根据锐角三角函数定义，$\cos∠ ACB=\frac{DC}{AC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。
(3) 由(2)知$AC=15$，因为$CE⊥ AC$，所以$△ ACE$是直角三角形。已知$\sin E=\frac{AC}{AE}=\frac{15}{17}$，则$AE=\frac{AC}{\frac{15}{17}}=\frac{15}{\frac{15}{17}}=17$，再根据勾股定理得$CE=\sqrt{AE^2-AC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8$。
【答案】
(1) $△ ABD$的面积为$30$；
(2) $\cos∠ ACB$的值为$\frac{3}{5}$；
(3) $CE$的长为$8$，$AE$的长为$17$。
【知识点】
勾股定理，三角形面积公式，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查直角三角形的相关知识，需要熟练运用勾股定理、三角形面积公式及锐角三角函数定义，理清各边与角的关系，逐步求解各问，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
13. (1) 用计算器计算并验证$\sin25°+\sin46°$与$\sin71°$之间的大小关系；
(2) 若$α$，$β$，$α+β$都是锐角，猜想$\sinα+\sinβ$与$\sin(α+β)$的大小关系；
(3) 请借助如图所示的图形证明上述猜想。
(2) 若$α$，$β$，$α+β$都是锐角，猜想$\sinα+\sinβ$与$\sin(α+β)$的大小关系；
(3) 请借助如图所示的图形证明上述猜想。
答案
13. (1) $ \sin 25 ^ { \circ } + \sin 46 ^ { \circ } ＞ \sin 71 ^ { \circ } $.
(2) $ \sin α + \sin β ＞ \sin ( α + β ) $.
(3) 证明: 由图可知 $ \sin α + \sin β = \frac { A B } { O A } + \frac { B C } { O B } $，$ \sin ( α + β ) = \frac { A E } { O A } $. $ \because O B ＜ O A $，$ \therefore \frac { B C } { O B } ＞ \frac { B C } { O A } $，$ \therefore \frac { A B } { O A } + \frac { B C } { O B } ＞ \frac { A B } { O A } + \frac { B C } { O A } = \frac { A B + B C } { O A } ＞ \frac { A E } { O A } $，$ \therefore \sin α + \sin β ＞ \sin ( α + β ) $.
(2) $ \sin α + \sin β ＞ \sin ( α + β ) $.
(3) 证明: 由图可知 $ \sin α + \sin β = \frac { A B } { O A } + \frac { B C } { O B } $，$ \sin ( α + β ) = \frac { A E } { O A } $. $ \because O B ＜ O A $，$ \therefore \frac { B C } { O B } ＞ \frac { B C } { O A } $，$ \therefore \frac { A B } { O A } + \frac { B C } { O B } ＞ \frac { A B } { O A } + \frac { B C } { O A } = \frac { A B + B C } { O A } ＞ \frac { A E } { O A } $，$ \therefore \sin α + \sin β ＞ \sin ( α + β ) $.
解析
【解析】
(1) 使用计算器计算：$\sin25°\approx0.4226$，$\sin46°\approx0.7193$，则$\sin25°+\sin46°\approx0.4226+0.7193=1.1419$；$\sin71°\approx0.9455$，因此$\sin25°+\sin46°＞\sin71°$。
(2) 根据(1)的计算结果，猜想：当$α$，$β$，$α+β$都是锐角时，$\sinα+\sinβ＞\sin(α+β)$。
(3) 证明：由图可知，在$Rt△ OAB$中，$\sinα=\frac{AB}{OA}$；在$Rt△ OBC$中，$\sinβ=\frac{BC}{OB}$；在$Rt△ OAE$中，$\sin(α+β)=\frac{AE}{OA}$。
因为$OB＜OA$，所以$\frac{BC}{OB}＞\frac{BC}{OA}$，
则$\sinα+\sinβ=\frac{AB}{OA}+\frac{BC}{OB}＞\frac{AB}{OA}+\frac{BC}{OA}=\frac{AB+BC}{OA}$，
又因为$AB+BC＞AE$，所以$\frac{AB+BC}{OA}＞\frac{AE}{OA}$，
故$\sinα+\sinβ＞\sin(α+β)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sin25°+\sin46°＞\sin71°}$；
(2) $\boldsymbol{\sinα+\sinβ＞\sin(α+β)}$（$α$，$β$，$α+β$都是锐角）；
(3) 证明见上述解析。
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 不等式的性质
3. 计算器的使用
【点评】
本题通过计算验证、猜想、几何证明的步骤，探究了锐角正弦函数的和与和的正弦的大小关系，体现了从特殊到一般的数学思想，考查了锐角三角函数定义与不等式的应用，需结合图形理解线段长度对三角函数值的影响。
【难度系数】
0.6
(1) 使用计算器计算：$\sin25°\approx0.4226$，$\sin46°\approx0.7193$，则$\sin25°+\sin46°\approx0.4226+0.7193=1.1419$；$\sin71°\approx0.9455$，因此$\sin25°+\sin46°＞\sin71°$。
(2) 根据(1)的计算结果，猜想：当$α$，$β$，$α+β$都是锐角时，$\sinα+\sinβ＞\sin(α+β)$。
(3) 证明：由图可知，在$Rt△ OAB$中，$\sinα=\frac{AB}{OA}$；在$Rt△ OBC$中，$\sinβ=\frac{BC}{OB}$；在$Rt△ OAE$中，$\sin(α+β)=\frac{AE}{OA}$。
因为$OB＜OA$，所以$\frac{BC}{OB}＞\frac{BC}{OA}$，
则$\sinα+\sinβ=\frac{AB}{OA}+\frac{BC}{OB}＞\frac{AB}{OA}+\frac{BC}{OA}=\frac{AB+BC}{OA}$，
又因为$AB+BC＞AE$，所以$\frac{AB+BC}{OA}＞\frac{AE}{OA}$，
故$\sinα+\sinβ＞\sin(α+β)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\sin25°+\sin46°＞\sin71°}$；
(2) $\boldsymbol{\sinα+\sinβ＞\sin(α+β)}$（$α$，$β$，$α+β$都是锐角）；
(3) 证明见上述解析。
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 不等式的性质
3. 计算器的使用
【点评】
本题通过计算验证、猜想、几何证明的步骤，探究了锐角正弦函数的和与和的正弦的大小关系，体现了从特殊到一般的数学思想，考查了锐角三角函数定义与不等式的应用，需结合图形理解线段长度对三角函数值的影响。
【难度系数】
0.6
