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14. 数学老师布置了这样一个问题：已知$α$，$β$都为锐角，且$\tanα=\frac{1}{3}$，$\tanβ=\frac{1}{2}$，求$α+β$的度数。甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题。他们分别设计了图①和图②。
(1) 请你分别利用图①、图②求出$α+β$的度数，并说明理由；
(2) 请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：已知$α$，$β$都为锐角，当$\tanα = 5$，$\tanβ=\frac{2}{3}$时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角$α$，画出$∠ MON$，使得$∠ MON=α-β$，求出$α-β$的度数，并说明理由。
(1) 请你分别利用图①、图②求出$α+β$的度数，并说明理由；
(2) 请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：已知$α$，$β$都为锐角，当$\tanα = 5$，$\tanβ=\frac{2}{3}$时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角$α$，画出$∠ MON$，使得$∠ MON=α-β$，求出$α-β$的度数，并说明理由。
答案
14. 解: (1) 如图①，在 $ △ A M C $ 和 $ △ C N B $ 中，$ \because \{ \begin{array} { l } { A M = C N } \\ { ∠ A M C = ∠ C N B } \\ { M C = B N } \end{array} $，$ \therefore △ A M C ≌ △ C N B ( \mathrm { SAS } ) $，$ \therefore A C = B C $，$ ∠ A C M = ∠ C B N $. $ \because ∠ B C N + ∠ C B N = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ A C M + ∠ B C N = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ A C B = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ C A B = ∠ C B A = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore α + β = 45 ^ { \circ } $.
如图②，设小正方形的边长为 1，则 $ C E = 1 , A E = 2 $，$ B E = \sqrt { 2 } $，$ \therefore \frac { E C } { B E } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ \frac { B E } { A E } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，$ \therefore \frac { E C } { B E } = \frac { B E } { A E } $. $ \because ∠ C E B = ∠ A E B $，$ \therefore △ C E B ∼ △ B E A $，$ \therefore ∠ C A B = ∠ C B E = α $，$ \therefore α + β = ∠ C B E + ∠ E C B = ∠ B E D $. $ \because D E = D B $，$ ∠ D = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ B E D = 45 ^ { \circ } $，即 $ α + β = 45 ^ { \circ } $.
(2) 如图③，$ ∠ M O E = α $，$ ∠ N O H = β $，$ ∠ M O N = α - β $. 易得 $ △ M F N ≌ △ N H O $，$ \therefore M N = N O $，$ ∠ M N F = ∠ N O H $. $ \because ∠ N O H + ∠ O N H = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ O N H + ∠ M N F = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ M N O = 90 ^ { \circ } $，$ \therefore ∠ N O M = ∠ N M O = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore α - β = 45 ^ { \circ } $.
解析
【解析】
(1) 利用图①求解：
在$△AMC$和$△CNB$中，
$\because \begin{cases} AM=CN \\ ∠AMC=∠CNB \\ MC=BN \end{cases}$，
$\therefore △AMC≌△CNB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=BC$，$∠ACM=∠CBN$。
$\because ∠BCN+∠CBN=90°$，
$\therefore ∠ACM+∠BCN=90°$，
$\therefore ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠CAB=∠CBA=45°$，即$α+β=45°$。
利用图②求解：
设小正方形的边长为1，则$CE=1$，$AE=2$，$BE=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{EC}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \frac{EC}{BE}=\frac{BE}{AE}$，又$\because ∠CEB=∠AEB$，
$\therefore △CEB∽△BEA$，
$\therefore ∠CAB=∠CBE=α$，
$\therefore α+β=∠CBE+∠ECB=∠BED$。
$\because DE=DB$，$∠D=90°$，
$\therefore ∠BED=45°$，即$α+β=45°$。
(2) 如图③，作$∠MOE=α$，$∠NOH=β$，则$∠MON=α-β$。
易得$△MFN≌△NHO$，
$\therefore MN=NO$，$∠MNF=∠NOH$。
$\because ∠NOH+∠ONH=90°$，
$\therefore ∠ONH+∠MNF=90°$，
$\therefore ∠MNO=90°$，
$\therefore ∠NOM=∠NMO=45°$，即$α-β=45°$。
【答案】
(1) $α+β=45°$；(2) $α-β=45°$
【知识点】
全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题借助正方形网格，运用全等、相似三角形性质及锐角三角函数求解角度，渗透数形结合思想。
【难度系数】
0.6
(1) 利用图①求解：
在$△AMC$和$△CNB$中，
$\because \begin{cases} AM=CN \\ ∠AMC=∠CNB \\ MC=BN \end{cases}$，
$\therefore △AMC≌△CNB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=BC$，$∠ACM=∠CBN$。
$\because ∠BCN+∠CBN=90°$，
$\therefore ∠ACM+∠BCN=90°$，
$\therefore ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠CAB=∠CBA=45°$，即$α+β=45°$。
利用图②求解：
设小正方形的边长为1，则$CE=1$，$AE=2$，$BE=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{EC}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore \frac{EC}{BE}=\frac{BE}{AE}$，又$\because ∠CEB=∠AEB$，
$\therefore △CEB∽△BEA$，
$\therefore ∠CAB=∠CBE=α$，
$\therefore α+β=∠CBE+∠ECB=∠BED$。
$\because DE=DB$，$∠D=90°$，
$\therefore ∠BED=45°$，即$α+β=45°$。
(2) 如图③，作$∠MOE=α$，$∠NOH=β$，则$∠MON=α-β$。
易得$△MFN≌△NHO$，
$\therefore MN=NO$，$∠MNF=∠NOH$。
$\because ∠NOH+∠ONH=90°$，
$\therefore ∠ONH+∠MNF=90°$，
$\therefore ∠MNO=90°$，
$\therefore ∠NOM=∠NMO=45°$，即$α-β=45°$。
【答案】
(1) $α+β=45°$；(2) $α-β=45°$
【知识点】
全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题借助正方形网格，运用全等、相似三角形性质及锐角三角函数求解角度，渗透数形结合思想。
【难度系数】
0.6
