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1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ \cos A = \dfrac{3}{5} $，$ AB = 10 $，则 $ AC $ 的长是
6
.答案
1. 6
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据余弦的定义可知$\cos A = \frac{AC}{AB}$。
已知$\cos A = \frac{3}{5}$，$AB = 10$，将数值代入公式可得：
$AC = AB × \cos A = 10 × \frac{3}{5} = 6$。
【答案】
6
【知识点】
余弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义（邻边与斜边的比值）是解题核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，根据余弦的定义可知$\cos A = \frac{AC}{AB}$。
已知$\cos A = \frac{3}{5}$，$AB = 10$，将数值代入公式可得：
$AC = AB × \cos A = 10 × \frac{3}{5} = 6$。
【答案】
6
【知识点】
余弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义（邻边与斜边的比值）是解题核心，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ \tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{3} $，$ AB = 2 $，则边 $ BC $ 的长是
$\sqrt{3}$
.答案
2. $\sqrt{3}$
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C = 90°$，
因为$\tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以$∠ B = 30°$。
根据余弦函数的定义，$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$，
已知$AB = 2$，$\cos30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
则$BC = AB · \cos B = 2 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义、特殊角三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的应用，需牢记特殊角的三角函数值，熟练运用边角关系求解边长，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C = 90°$，
因为$\tan B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以$∠ B = 30°$。
根据余弦函数的定义，$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$，
已知$AB = 2$，$\cos30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
则$BC = AB · \cos B = 2 × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
锐角三角函数定义、特殊角三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的应用，需牢记特殊角的三角函数值，熟练运用边角关系求解边长，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 6 $，$ \sin A = \dfrac{4}{5} $，则 $ AC $ 的长是
$\frac{18}{5}$
.答案
3. $\frac{18}{5}$
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB$为斜边。
根据锐角三角函数的定义，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，已知$AB=6$，则：
$BC = AB × \frac{4}{5} = 6 × \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$。
由勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2} = \sqrt{36 - \frac{576}{25}} = \sqrt{\frac{900 - 576}{25}} = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{18}{5}$。
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的应用与勾股定理的计算，需熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的内容，注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.6
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB$为斜边。
根据锐角三角函数的定义，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$，已知$AB=6$，则：
$BC = AB × \frac{4}{5} = 6 × \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$。
由勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，可得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2} = \sqrt{36 - \frac{576}{25}} = \sqrt{\frac{900 - 576}{25}} = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{18}{5}$。
【答案】
$\frac{18}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的应用与勾股定理的计算，需熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的内容，注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ a = 35 $，$ c = 35\sqrt{2} $，则 $ ∠ A = $
$45°$
，$ b = $35
.答案
4. $45°$ 35
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$a=35$，$c=35\sqrt{2}$。
1. 求$∠ A$：
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{35}{35\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$∠ A$为锐角，所以$∠ A=45°$。
2. 求$b$：
方法一：由$∠ A=45°$可知$\mathrm{Rt}△ABC$是等腰直角三角形，故$b=a=35$；
方法二：根据勾股定理，$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(35\sqrt{2})^2-35^2}=\sqrt{2450-1225}=35$。
【答案】
$45°$；35
【知识点】
特殊角的三角函数值；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形的计算，掌握特殊角的三角函数值与勾股定理是核心，识别等腰直角三角形可快速求解。
【难度系数】
0.8
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$a=35$，$c=35\sqrt{2}$。
1. 求$∠ A$：
$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{35}{35\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$∠ A$为锐角，所以$∠ A=45°$。
2. 求$b$：
方法一：由$∠ A=45°$可知$\mathrm{Rt}△ABC$是等腰直角三角形，故$b=a=35$；
方法二：根据勾股定理，$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(35\sqrt{2})^2-35^2}=\sqrt{2450-1225}=35$。
【答案】
$45°$；35
【知识点】
特殊角的三角函数值；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查直角三角形的计算，掌握特殊角的三角函数值与勾股定理是核心，识别等腰直角三角形可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 9 $，$ \cos B = \dfrac{1}{3} $，则 $ △ ABC $ 的面积是 (
A.$ 9\sqrt{3} $
B.$ 9\sqrt{2} $
C.18
D.$ \dfrac{27}{2} $
B
)A.$ 9\sqrt{3} $
B.$ 9\sqrt{2} $
C.18
D.$ \dfrac{27}{2} $
答案
5. B
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 9$，$\cos B = \dfrac{1}{3}$。
根据锐角三角函数定义：$\cos B=\dfrac{BC}{AB}$，则$BC=AB·\cos B=9×\dfrac{1}{3}=3$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
因此$△ ABC$的面积为：$\dfrac{1}{2}× BC× AC=\dfrac{1}{2}×3×6\sqrt{2}=9\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数、勾股定理及三角形面积的综合应用，熟练掌握相关定义与公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 9$，$\cos B = \dfrac{1}{3}$。
根据锐角三角函数定义：$\cos B=\dfrac{BC}{AB}$，则$BC=AB·\cos B=9×\dfrac{1}{3}=3$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{9^2-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
因此$△ ABC$的面积为：$\dfrac{1}{2}× BC× AC=\dfrac{1}{2}×3×6\sqrt{2}=9\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数、勾股定理及三角形面积的综合应用，熟练掌握相关定义与公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6
