7. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = a$，$AC = b$，且$3a = 4b$，则$\tan A$的值为()

A.$2\sqrt{2}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$\frac{5}{2}$

7. B

【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，根据锐角正切的定义，$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$。
已知$3a = 4b$，变形可得$\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$，因此$\tan A = \frac{4}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角正切的定义、比例的性质
【点评】
本题考查直角三角形中锐角正切值的计算，解题关键是熟练掌握正切的定义，结合已知比例关系进行求解，题目难度较低，易于掌握。
【难度系数】
0.8

8. 如图，钓鱼竿$AC$长$6m$，露在水面上的鱼线$BC$长$3\sqrt{2}m$，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿$AC$转动到$AC'$的位置，此时露在水面上的鱼线$B'C'$长$3\sqrt{3}m$，则鱼竿转动的角度是()

A.$60°$
B.$45°$
C.$15°$
D.$90°$

8. C

【解析】
在$Rt△ ABC$中，$AC=6m$，$BC=3\sqrt{2}m$，
$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故$∠ CAB=45°$。
在$Rt△ AB'C'$中，$AC'=AC=6m$，$B'C'=3\sqrt{3}m$，
$\sin∠ C'AB'=\frac{B'C'}{AC'}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$∠ C'AB'=60°$。
鱼竿转动的角度为$∠ C'AB' - ∠ CAB=60° - 45°=15°$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查锐角三角函数的实际应用，需利用特殊角的三角函数值求出对应角度，再通过角度差得到鱼竿转动的角度，核心是熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6

9. 等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，若$AB = 3$，$BC = 4$，则$\sin B=$。

9. $ \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } $

【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=½BC=½×4=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=√(AB²-BD²)=√(3²-2²)=√5，
∴sinB=AD/AB=√5/3。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查等腰三角形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，解题关键是通过作高构造直角三角形，利用相关性质和定理求解。
【难度系数】
0.7

10. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向。如图，在高速公路上，交警在$A$处操控无人机巡查，无人机从点$A$处飞行到点$P$处悬停，探测到它的正下方公路上点$B$处有汽车发生故障。测得$A$处到$P$处的距离为$500m$，从点$A$观测点$P$的仰角为$α$，$\cosα = 0.98$，则$A$处到$B$处的距离为$m$。

10. 490

【解析】
在$Rt△ ABP$中，$∠ B=90°$，$AP=500m$，$\cosα=\frac{AB}{AP}$，
所以$AB=AP·\cosα=500×0.98=490(m)$。
【答案】
490
【知识点】
锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，解题关键是利用直角三角形中余弦的定义建立边的关系求解。
【难度系数】
0.7

11. 要加工形状如图所示的零件，请根据图示尺寸（单位：$mm$）计算$∠α$的正切值。

11. $ \frac { 57 } { 140 } $

【解析】
过点F作FG⊥AE于点G，由图中尺寸可知：
AG = 140mm，
FG = 124 - (150 - 83) = 57(mm)，
在Rt△AFG中，$\tanα = \frac{FG}{AG} = \frac{57}{140}$。
【答案】
$\frac{57}{140}$
【知识点】
锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数的实际应用，关键是构造直角三角形，确定∠α的对边与邻边的长度。
【难度系数】
0.7