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1. 若$∠ A$，$∠ B$均为锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，$\cos B=\frac{1}{2}$，则(
A.$∠ A=∠ B=60°$
B.$∠ A=∠ B=30°$
C.$∠ A=60°$，$∠ B=30°$
D.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
D
)A.$∠ A=∠ B=60°$
B.$∠ A=∠ B=30°$
C.$∠ A=60°$，$∠ B=30°$
D.$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
答案
1. D
解析
【解析】
根据特殊角的三角函数值：
因为$∠ A$为锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，所以$∠ A=30°$；
因为$∠ B$为锐角，且$\cos B=\frac{1}{2}$，所以$∠ B=60°$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查对特殊锐角（30°、60°）的正弦、余弦值的记忆与应用，属于基础题型，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键。
【难度系数】
0.9
根据特殊角的三角函数值：
因为$∠ A$为锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，所以$∠ A=30°$；
因为$∠ B$为锐角，且$\cos B=\frac{1}{2}$，所以$∠ B=60°$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查对特殊锐角（30°、60°）的正弦、余弦值的记忆与应用，属于基础题型，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键。
【难度系数】
0.9
2. 若$\cosα=\frac{2}{3}$，则锐角$α$的大致范围是（
A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
C
）A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
答案
2. C
解析
【解析】
先回忆特殊角的余弦值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\cos60°=\frac{1}{2}=0.5$。
已知$\cosα=\frac{2}{3}\approx0.666$，且余弦函数在$0°＜α＜90°$时单调递减，
因为$0.5＜0.666＜0.707$，所以$\cos60°＜\cosα＜\cos45°$，
根据单调性可得$45°＜α＜60°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角余弦函数的增减性
【点评】
本题考查锐角余弦函数的单调性及特殊角的三角函数值的应用，解题关键是利用余弦函数在锐角范围内的递减性质，结合特殊角的余弦值判断角度范围。
【难度系数】
0.7
先回忆特殊角的余弦值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，$\cos60°=\frac{1}{2}=0.5$。
已知$\cosα=\frac{2}{3}\approx0.666$，且余弦函数在$0°＜α＜90°$时单调递减，
因为$0.5＜0.666＜0.707$，所以$\cos60°＜\cosα＜\cos45°$，
根据单调性可得$45°＜α＜60°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、锐角余弦函数的增减性
【点评】
本题考查锐角余弦函数的单调性及特殊角的三角函数值的应用，解题关键是利用余弦函数在锐角范围内的递减性质，结合特殊角的余弦值判断角度范围。
【难度系数】
0.7
3. 若$\tanα=\sqrt{5}$，则锐角$α$的大致范围是（
A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
D
）A.$0°＜α＜30°$
B.$30°＜α＜45°$
C.$45°＜α＜60°$
D.$60°＜α＜90°$
答案
3. D
解析
【解析】
已知特殊角的正切值：$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$，$\tanα=\sqrt{5}\approx2.236$。
因为正切函数在$0°＜α＜90°$时单调递增，且$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，所以$\tanα＞\tan60°$，可得$60°＜α＜90°$。
【答案】
D
【知识点】
特殊角三角函数值，正切函数单调性
【点评】
本题考查特殊角的正切值及正切函数在锐角范围内的单调性，需牢记特殊角三角函数值，结合函数单调性判断角的范围。
【难度系数】
0.7
已知特殊角的正切值：$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}\approx1.732$，$\tanα=\sqrt{5}\approx2.236$。
因为正切函数在$0°＜α＜90°$时单调递增，且$\sqrt{5}＞\sqrt{3}$，所以$\tanα＞\tan60°$，可得$60°＜α＜90°$。
【答案】
D
【知识点】
特殊角三角函数值，正切函数单调性
【点评】
本题考查特殊角的正切值及正切函数在锐角范围内的单调性，需牢记特殊角三角函数值，结合函数单调性判断角的范围。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\frac{\sqrt{3}}{2}＜\cos A＜\sin70°$，则锐角$∠ A$的取值范围是
$ 20 ^ { \circ } ＜ ∠ A ＜ 30 ^ { \circ } $
。答案
4. $ 20 ^ { \circ } ＜ ∠ A ＜ 30 ^ { \circ } $
解析
【解析】
1. 根据互余两角的三角函数关系，$\sin70°=\cos(90°-70°)=\cos20°$；
2. 又$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则原不等式转化为$\cos30°＜\cos A＜\cos20°$；
3. 余弦函数在锐角范围内（$0°∼90°$）是减函数，即角度越大，余弦值越小，因此可得$20°＜∠A＜30°$。
【答案】
$20 ^ { \circ } ＜ ∠ A ＜ 30 ^ { \circ }$
【知识点】
余弦函数的单调性、互余两角的三角函数关系
【点评】
本题考查余弦函数的性质及互余角的三角函数转换，需熟练掌握锐角范围内余弦函数的增减性，通过三角函数等价转化求解角度范围，对三角函数基本性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 根据互余两角的三角函数关系，$\sin70°=\cos(90°-70°)=\cos20°$；
2. 又$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则原不等式转化为$\cos30°＜\cos A＜\cos20°$；
3. 余弦函数在锐角范围内（$0°∼90°$）是减函数，即角度越大，余弦值越小，因此可得$20°＜∠A＜30°$。
【答案】
$20 ^ { \circ } ＜ ∠ A ＜ 30 ^ { \circ }$
【知识点】
余弦函数的单调性、互余两角的三角函数关系
【点评】
本题考查余弦函数的性质及互余角的三角函数转换，需熟练掌握锐角范围内余弦函数的增减性，通过三角函数等价转化求解角度范围，对三角函数基本性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$△ ABC$中，$AH⊥ BC$于点$H$，$BH=2\sqrt{3}$，$CH=2$，$△ ABC$的面积为$2\sqrt{3}+2$，求$△ ABC$各内角的度数。
答案
5. $ ∠ B A C = 105 ^ { \circ } , ∠ B = 30 ^ { \circ } , ∠ C = 45 ^ { \circ } $
解析
【解析】
1. 计算$BC$的长度：$BC = BH + CH = 2\sqrt{3} + 2$。
2. 求$AH$的长度：
由$△ ABC$的面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AH$，代入已知$S_{△ ABC}=2\sqrt{3}+2$，得：
$\frac{1}{2} × (2\sqrt{3}+2) × AH = 2\sqrt{3}+2$，
解得$AH=2$。
3. 在$Rt△ ABH$中，$AH ⊥ BC$，$AH=2$，$BH=2\sqrt{3}$，
$\tan B = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$∠ B = 30°$。
4. 在$Rt△ ACH$中，$AH=2$，$CH=2$，则$AH=CH$，
所以$△ ACH$是等腰直角三角形，$∠ C = 45°$。
5. 根据三角形内角和定理，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 45° = 105°$。
【答案】
$∠ BAC = 105°$，$∠ B = 30°$，$∠ C = 45°$
【知识点】
解直角三角形，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题通过三角形面积公式求出高，再结合直角三角形的边角关系求解内角，考查对解直角三角形及特殊角三角函数值的掌握，需灵活运用三角形内角和定理。
【难度系数】
0.6
1. 计算$BC$的长度：$BC = BH + CH = 2\sqrt{3} + 2$。
2. 求$AH$的长度：
由$△ ABC$的面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AH$，代入已知$S_{△ ABC}=2\sqrt{3}+2$，得：
$\frac{1}{2} × (2\sqrt{3}+2) × AH = 2\sqrt{3}+2$，
解得$AH=2$。
3. 在$Rt△ ABH$中，$AH ⊥ BC$，$AH=2$，$BH=2\sqrt{3}$，
$\tan B = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$∠ B = 30°$。
4. 在$Rt△ ACH$中，$AH=2$，$CH=2$，则$AH=CH$，
所以$△ ACH$是等腰直角三角形，$∠ C = 45°$。
5. 根据三角形内角和定理，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 30° - 45° = 105°$。
【答案】
$∠ BAC = 105°$，$∠ B = 30°$，$∠ C = 45°$
【知识点】
解直角三角形，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题通过三角形面积公式求出高，再结合直角三角形的边角关系求解内角，考查对解直角三角形及特殊角三角函数值的掌握，需灵活运用三角形内角和定理。
【难度系数】
0.6
6. 在$△ ABC$中，如果内角满足$(\tan A - 1)^2 + |\sin C - 0.3| = 0$，判断$△ ABC$的是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由。
答案
6. 解: 由题意得 $ ∠ A = 45 ^ { \circ } $，$ \sin C = 0.3 ＜ 0.5 $，说明 $ ∠ C ＜ 30 ^ { \circ } $，故 $ ∠ B ＞ 105 ^ { \circ } $，说明 $ △ A B C $ 是钝角三角形.
解析
【解析】
因为平方和绝对值均为非负数，且$(\tan A - 1)^2 + |\sin C - 0.3| = 0$，所以$\tan A - 1 = 0$，$\sin C - 0.3 = 0$。
由$\tan A - 1 = 0$得$\tan A = 1$，在$△ ABC$中，$∠ A = 45°$；
由$\sin C - 0.3 = 0$得$\sin C = 0.3$，因为$\sin30° = 0.5$，且正弦函数在$0° ＜ ∠ C ＜ 90°$时单调递增，所以$∠ C ＜ 30°$；
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C ＞ 180° - 45° - 30° = 105°$，$∠ B$为钝角，故$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
$△ ABC$是钝角三角形。
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查非负数性质、特殊角三角函数值及三角形内角和定理，通过推导内角大小判断三角形类型，需结合正弦函数的增减性确定角的范围。
【难度系数】
0.6
因为平方和绝对值均为非负数，且$(\tan A - 1)^2 + |\sin C - 0.3| = 0$，所以$\tan A - 1 = 0$，$\sin C - 0.3 = 0$。
由$\tan A - 1 = 0$得$\tan A = 1$，在$△ ABC$中，$∠ A = 45°$；
由$\sin C - 0.3 = 0$得$\sin C = 0.3$，因为$\sin30° = 0.5$，且正弦函数在$0° ＜ ∠ C ＜ 90°$时单调递增，所以$∠ C ＜ 30°$；
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C ＞ 180° - 45° - 30° = 105°$，$∠ B$为钝角，故$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
$△ ABC$是钝角三角形。
【知识点】
非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查非负数性质、特殊角三角函数值及三角形内角和定理，通过推导内角大小判断三角形类型，需结合正弦函数的增减性确定角的范围。
【难度系数】
0.6
