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13. 计算：
(1) $\sin ^{2}1° + \sin ^{2}2° + \sin ^{2}3° + ··· + \sin ^{2}87° + \sin ^{2}88° + \sin ^{2}89° =$
(2) $\tan 1° · \tan 89° + \tan 2° · \tan 88° + \tan 3° · \tan 87° + ··· + \tan 44° · \tan 46° + \tan 45° · \tan 45° =$
(1) $\sin ^{2}1° + \sin ^{2}2° + \sin ^{2}3° + ··· + \sin ^{2}87° + \sin ^{2}88° + \sin ^{2}89° =$
44.5
.(2) $\tan 1° · \tan 89° + \tan 2° · \tan 88° + \tan 3° · \tan 87° + ··· + \tan 44° · \tan 46° + \tan 45° · \tan 45° =$
45
.答案
13. (1) 44.5 (2) 45
解析
【解析】
(1) 根据三角函数诱导公式$\sin(90°-α)=\cosα$及同角三角函数平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，可得：
$\sin^21°+\sin^289°=\sin^21°+\cos^21°=1$，
$\sin^22°+\sin^288°=\sin^22°+\cos^22°=1$，
……
$\sin^244°+\sin^246°=\sin^244°+\cos^244°=1$，
共44组和为1的组合，再加上中间的$\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=0.5$，
因此原式$=44×1 + 0.5=44.5$。
(2) 根据三角函数诱导公式$\tan(90°-α)=\cotα$及$\tanα·\cotα=1$，可得：
$\tan1°·\tan89°=\tan1°·\cot1°=1$，
$\tan2°·\tan88°=\tan2°·\cot2°=1$，
……
$\tan44°·\tan46°=\tan44°·\cot44°=1$，
共44组和为1的组合，再加上$\tan45°·\tan45°=1×1=1$，
因此原式$=44×1 + 1=45$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{44.5}$；(2) $\boldsymbol{45}$
【知识点】
1. 三角函数诱导公式
2. 同角三角函数基本关系
【点评】
本题考查三角函数诱导公式与同角三角函数基本关系的综合运用，通过挖掘角度的互余特征分组计算，需熟练掌握特殊角三角函数值及相关公式，提升观察与转化能力。
【难度系数】
0.3
(1) 根据三角函数诱导公式$\sin(90°-α)=\cosα$及同角三角函数平方关系$\sin^2α+\cos^2α=1$，可得：
$\sin^21°+\sin^289°=\sin^21°+\cos^21°=1$，
$\sin^22°+\sin^288°=\sin^22°+\cos^22°=1$，
……
$\sin^244°+\sin^246°=\sin^244°+\cos^244°=1$，
共44组和为1的组合，再加上中间的$\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=0.5$，
因此原式$=44×1 + 0.5=44.5$。
(2) 根据三角函数诱导公式$\tan(90°-α)=\cotα$及$\tanα·\cotα=1$，可得：
$\tan1°·\tan89°=\tan1°·\cot1°=1$，
$\tan2°·\tan88°=\tan2°·\cot2°=1$，
……
$\tan44°·\tan46°=\tan44°·\cot44°=1$，
共44组和为1的组合，再加上$\tan45°·\tan45°=1×1=1$，
因此原式$=44×1 + 1=45$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{44.5}$；(2) $\boldsymbol{45}$
【知识点】
1. 三角函数诱导公式
2. 同角三角函数基本关系
【点评】
本题考查三角函数诱导公式与同角三角函数基本关系的综合运用，通过挖掘角度的互余特征分组计算，需熟练掌握特殊角三角函数值及相关公式，提升观察与转化能力。
【难度系数】
0.3
14. 为了绿色健康出行，小明爸爸给小明购置了一辆自行车作为代步工具. 如图①所示是该自行车的实物图. 车架档 $AC$ 与 $CD$ 的长分别为 $45.0\ \mathrm{cm}, 60.0\ \mathrm{cm}$，且它们互相垂直，$∠ CAB = 76°, AD // BC$，如图②所示.
(1) 求车架档 $AD$ 的长；
(2) 求车链横档 $AB$ 的长.
(结果精确到 $0.1\ \mathrm{cm}$，参考数据：$\sin 76° \approx 0.97, \cos 76° \approx 0.24, \tan 76° \approx 4.01$)
(1) 求车架档 $AD$ 的长；
(2) 求车链横档 $AB$ 的长.
(结果精确到 $0.1\ \mathrm{cm}$，参考数据：$\sin 76° \approx 0.97, \cos 76° \approx 0.24, \tan 76° \approx 4.01$)
答案
14. 解：(1) 在 $Rt△ ACD$ 中，$AC = 45.0\mathrm{cm}$，$DC = 60.0\mathrm{cm}$，
$\therefore AD = \sqrt{AC^{2}+CD^{2}} = 75.0\mathrm{cm}$。
答：车架档 $AD$ 的长是 $75\mathrm{cm}$。
(2) 过点 $B$ 作 $BH⊥ AC$，垂足为 $H$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ BCA = ∠ CAD$，
$\therefore \tan∠ BCA = \tan∠ CAD$，
$\therefore \frac{BH}{CH}=\frac{CD}{CA}=\frac{60.0}{45.0}=\frac{4}{3}$，
设 $CH = 3k$，则 $BH = 4k$，
在 $Rt△ ABH$ 中，$\tan∠ BAH=\frac{BH}{AH}$，
$\therefore AH = \frac{BH}{\tan∠ BAH}=\frac{4k}{\tan 76°}\approx\frac{4k}{4.01}\approx k$。
$\because AC = AH + CH\approx k + 3k = 4k$，
$\therefore BH = AC = 45.0$，
$\because \sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}$，
$\therefore AB = \frac{BH}{\sin∠ BAH}=\frac{45.0}{\sin 76°}\approx 46.4\mathrm{cm}$。
答：车链横档 $AB$ 的长是 $46.4\mathrm{cm}$。
$\therefore AD = \sqrt{AC^{2}+CD^{2}} = 75.0\mathrm{cm}$。
答：车架档 $AD$ 的长是 $75\mathrm{cm}$。
(2) 过点 $B$ 作 $BH⊥ AC$，垂足为 $H$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ BCA = ∠ CAD$，
$\therefore \tan∠ BCA = \tan∠ CAD$，
$\therefore \frac{BH}{CH}=\frac{CD}{CA}=\frac{60.0}{45.0}=\frac{4}{3}$，
设 $CH = 3k$，则 $BH = 4k$，
在 $Rt△ ABH$ 中，$\tan∠ BAH=\frac{BH}{AH}$，
$\therefore AH = \frac{BH}{\tan∠ BAH}=\frac{4k}{\tan 76°}\approx\frac{4k}{4.01}\approx k$。
$\because AC = AH + CH\approx k + 3k = 4k$，
$\therefore BH = AC = 45.0$，
$\because \sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}$，
$\therefore AB = \frac{BH}{\sin∠ BAH}=\frac{45.0}{\sin 76°}\approx 46.4\mathrm{cm}$。
答：车链横档 $AB$ 的长是 $46.4\mathrm{cm}$。
解析
【解析】
(1) 在$Rt△ ACD$中，$AC=45.0\ \mathrm{cm}$，$CD=60.0\ \mathrm{cm}$，$∠ ACD=90°$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{45.0^2+60.0^2}=75.0\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$B$作$BH⊥ AC$，垂足为$H$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ BCA=∠ CAD$，
$\therefore \tan∠ BCA=\tan∠ CAD=\frac{CD}{CA}=\frac{60.0}{45.0}=\frac{4}{3}$。
设$CH=3k$，则$BH=4k$。
在$Rt△ ABH$中，$\tan∠ BAH=\frac{BH}{AH}$，
$\therefore AH=\frac{BH}{\tan76°}\approx\frac{4k}{4.01}\approx k$。
$\because AC=AH+CH\approx k+3k=4k=45.0\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BH=45.0\ \mathrm{cm}$。
由$\sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}$，得：
$AB=\frac{BH}{\sin76°}\approx\frac{45.0}{0.97}\approx46.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75.0\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{46.4\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理、平行线的性质、解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，需通过构造直角三角形，结合勾股定理与三角函数求解，体现了数学建模思想。
【难度系数】
0.6
(1) 在$Rt△ ACD$中，$AC=45.0\ \mathrm{cm}$，$CD=60.0\ \mathrm{cm}$，$∠ ACD=90°$，
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{45.0^2+60.0^2}=75.0\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$B$作$BH⊥ AC$，垂足为$H$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ BCA=∠ CAD$，
$\therefore \tan∠ BCA=\tan∠ CAD=\frac{CD}{CA}=\frac{60.0}{45.0}=\frac{4}{3}$。
设$CH=3k$，则$BH=4k$。
在$Rt△ ABH$中，$\tan∠ BAH=\frac{BH}{AH}$，
$\therefore AH=\frac{BH}{\tan76°}\approx\frac{4k}{4.01}\approx k$。
$\because AC=AH+CH\approx k+3k=4k=45.0\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BH=45.0\ \mathrm{cm}$。
由$\sin∠ BAH=\frac{BH}{AB}$，得：
$AB=\frac{BH}{\sin76°}\approx\frac{45.0}{0.97}\approx46.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{75.0\ \mathrm{cm}}$；
(2) $\boldsymbol{46.4\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
勾股定理、平行线的性质、解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，需通过构造直角三角形，结合勾股定理与三角函数求解，体现了数学建模思想。
【难度系数】
0.6
