10. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高 $60$ 米的点 $P$ 处测得瞭望台正对岸 $A$ 处的俯角为 $50°$，测得瞭望台顶端 $C$ 处的俯角为 $63.6°$. 已知瞭望台 $BC$ 高 $12$ 米(图中点 $A, B, C, P$ 在同一平面内)，那么此河段的宽 $AB$ 为 米. (参考数据：$\sin 40° \approx \dfrac{3}{5}, \sin 63.6° \approx \dfrac{9}{10}, \tan 50° \approx \dfrac{6}{5}, \tan 63.6° \approx 2$)

10. 74

【解析】
过点 $ P $ 作 $ PD ⊥ AB $ 于点 $ D $，交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $，则四边形 $ DEBC $ 是矩形，
所以 $ DE = BC = 12 $ 米，$ BD = CE $，$ PD = 60 $ 米，
因此 $ PE = PD - DE = 60 - 12 = 48 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ PEC $ 中，$ ∠ CPE = 63.6° $，由 $ \tan 63.6° = \frac{PE}{CE} $，
已知 $ \tan 63.6° \approx 2 $，则 $ CE = \frac{PE}{\tan 63.6°} = \frac{48}{2} = 24 $ 米，故 $ BD = 24 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ PAD $ 中，$ ∠ A = 50° $，由 $ \tan 50° = \frac{PD}{AD} $，
已知 $ \tan 50° \approx \frac{6}{5} $，则 $ AD = \frac{PD}{\tan 50°} = \frac{60}{\frac{6}{5}} = 50 $ 米。
因此 $ AB = AD + BD = 50 + 24 = 74 $ 米。
【答案】
74
【知识点】
解直角三角形的应用-俯角仰角问题
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，关键是构造直角三角形，利用俯角的定义转化为直角三角形的内角，结合三角函数的定义求解。
【难度系数】
0.6

11. 如图，在 $\mathrm{Rt} △ ABO$ 中，斜边 $AB = 1$，若 $OC // BA, ∠ AOC = 36°$，则下列结论正确的是()


A.点 $B$ 到 $AO$ 的距离为 $\sin 54°$
B.点 $B$ 到 $AO$ 的距离为 $\tan 36°$
C.点 $A$ 到 $OC$ 的距离为 $\sin 36° \sin 54°$
D.点 $A$ 到 $OC$ 的距离为 $\cos 36° \sin 54°$

11. C

【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABO$中，斜边$AB=1$，$∠ AOB=90°$。
因为$OC // BA$，$∠ AOC=36°$，所以$∠ OAB=∠ AOC=36°$，则$∠ ABO=90°-36°=54°$。
分析A、B选项：
点$B$到$AO$的距离并非$\sin54°$或$\tan36°$，故A、B错误。
分析C、D选项：
过点$A$作$AE⊥ OC$于$E$，点$A$到$OC$的距离为$AE$。
由$\mathrm{Rt} △ ABO$得$OA=\sin54°$，在$\mathrm{Rt} △ AOE$中，$AE=OA·\sin36°=\sin36° \sin54°$，故C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质、平行线性质、三角函数应用
【点评】
本题需结合平行线性质转化角度，利用三角函数定义及点到直线的距离的几何意义分析选项，关键是准确建立线段与三角函数的关系。
【难度系数】
0.6

12. 某景区的负责人为提高游客到达某景点的安全性，决定将该景点的步行台阶进行改造，把倾角由 $45°$ 减至 $30°$，已知原台阶 $AB$ 的长为 $50$ 米($BC$ 所在地面为水平面).
(1) 改善后的台阶会加长多少？(结果保留根号)
(2) 改善后的台阶将多占多长一段地面？(结果保留根号)

12. (1) $(50\sqrt{2}-50)$ 米 (2) $(25\sqrt{6}-25\sqrt{2})$ 米

【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=50$米，
$\therefore AC=AB·\sin45°=50×\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}$米。
在$Rt△ ADC$中，$∠ D=30°$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\sin30°}=\frac{25\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=50\sqrt{2}$米，
则改善后的台阶加长的长度为$AD-AB=50\sqrt{2}-50$米。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$BC=AB·\cos45°=50×\frac{\sqrt{2}}{2}=25\sqrt{2}$米，
在$Rt△ ADC$中，$DC=\frac{AC}{\tan30°}=\frac{25\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=25\sqrt{6}$米，
则多占地面的长度为$DC-BC=25\sqrt{6}-25\sqrt{2}$米。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(50\sqrt{2}-50)}$米；(2) $\boldsymbol{(25\sqrt{6}-25\sqrt{2})}$米
【知识点】
解直角三角形应用、特殊角三角函数值
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，需熟练掌握特殊角的三角函数值，利用直角三角形的边角关系建立数学模型，准确计算求解，提升实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6