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5. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 $80°$ 角，房屋朝南的窗子高 $AB = 1.8\ \mathrm{m}$，要在窗子外面上方安装水平挡光板 $AC$，使平行光线不能直接射入室内，如图所示，那么挡光板 $AC$ 的宽度至少应为(
A.$1.8 \tan 80°\ \mathrm{m}$
B.$1.8 \cos 80°\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{1.8}{\sin 80°}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{1.8}{\tan 80°}\ \mathrm{m}$
D
)A.$1.8 \tan 80°\ \mathrm{m}$
B.$1.8 \cos 80°\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{1.8}{\sin 80°}\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{1.8}{\tan 80°}\ \mathrm{m}$
答案
5. D
解析
【解析】
根据题意，构造$\mathrm{Rt}△ ABC$，其中$∠ BAC=90°$，光线与地面成$80°$角，故$∠ ACB=80°$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由正切函数的定义可得：$\tan80°=\frac{AB}{AC}$，将$AB=1.8\ \mathrm{m}$代入，解得$AC=\frac{1.8}{\tan80°}\ \mathrm{m}$，即挡光板$AC$的宽度至少为$\frac{1.8}{\tan80°}\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的应用，直角三角形边角关系
【点评】
本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，解题关键是正确构造直角三角形，利用正切函数的定义建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
根据题意，构造$\mathrm{Rt}△ ABC$，其中$∠ BAC=90°$，光线与地面成$80°$角，故$∠ ACB=80°$。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由正切函数的定义可得：$\tan80°=\frac{AB}{AC}$，将$AB=1.8\ \mathrm{m}$代入，解得$AC=\frac{1.8}{\tan80°}\ \mathrm{m}$，即挡光板$AC$的宽度至少为$\frac{1.8}{\tan80°}\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的应用，直角三角形边角关系
【点评】
本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，解题关键是正确构造直角三角形，利用正切函数的定义建立等量关系求解。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = 8, AC = 9, ∠ A = 48°$，求 $AB$ 边上的高. (精确到 $0.01$，参考值：$\sin 48° \approx 0.7431, \cos 48° \approx 0.6691, \tan 48° \approx 1.1106$)
答案
6. 解：作 $AB$ 边上的高 $CH$，垂足为 $H$，
在 $Rt△ ACH$ 中，$\because \sin A=\frac{CH}{AC}$，
$\therefore CH = AC·\sin A = 9\sin 48°\approx 6.69$。
在 $Rt△ ACH$ 中，$\because \sin A=\frac{CH}{AC}$，
$\therefore CH = AC·\sin A = 9\sin 48°\approx 6.69$。
解析
【解析】
过点C作AB边上的高CH，垂足为H。
在$Rt△ACH$中，根据正弦的定义，$\sin A=\frac{CH}{AC}$，
则$CH = AC·\sin A$，
将$AC=9$，$\sin 48° \approx 0.7431$代入，得$CH\approx9×0.7431≈6.69$。
【答案】
$AB$边上的高约为6.69
【知识点】
锐角三角函数的应用、解直角三角形
【点评】
本题考查利用锐角三角函数求解三角形的高，关键是通过作高构造直角三角形，熟练运用正弦的定义进行计算，属于基础题。
【难度系数】
0.8
过点C作AB边上的高CH，垂足为H。
在$Rt△ACH$中，根据正弦的定义，$\sin A=\frac{CH}{AC}$，
则$CH = AC·\sin A$，
将$AC=9$，$\sin 48° \approx 0.7431$代入，得$CH\approx9×0.7431≈6.69$。
【答案】
$AB$边上的高约为6.69
【知识点】
锐角三角函数的应用、解直角三角形
【点评】
本题考查利用锐角三角函数求解三角形的高，关键是通过作高构造直角三角形，熟练运用正弦的定义进行计算，属于基础题。
【难度系数】
0.8
7. 已知 $\sin α = 2m - 3$，且 $α$ 为锐角，则 $m$ 的取值范围是
$\frac{3}{2}＜m＜2$
.答案
7. $\frac{3}{2}＜m＜2$
解析
【解析】
因为α为锐角，所以锐角的正弦值满足 $0 ＜ \sinα ＜ 1$。
已知 $\sinα = 2m - 3$，代入可得不等式组：
$\begin{cases}2m - 3 ＞ 0 \\2m - 3 ＜ 1\end{cases}$
解第一个不等式：$2m ＞ 3$，得 $m ＞ \frac{3}{2}$；
解第二个不等式：$2m ＜ 4$，得 $m ＜ 2$。
综上，$m$ 的取值范围是 $\frac{3}{2} ＜ m ＜ 2$。
【答案】
$\frac{3}{2}＜m＜2$
【知识点】
锐角的正弦值范围，一元一次不等式组解法
【点评】
本题结合锐角三角函数的性质与一元一次不等式组的求解，考查对锐角正弦值取值范围的掌握及不等式组的运算能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
因为α为锐角，所以锐角的正弦值满足 $0 ＜ \sinα ＜ 1$。
已知 $\sinα = 2m - 3$，代入可得不等式组：
$\begin{cases}2m - 3 ＞ 0 \\2m - 3 ＜ 1\end{cases}$
解第一个不等式：$2m ＞ 3$，得 $m ＞ \frac{3}{2}$；
解第二个不等式：$2m ＜ 4$，得 $m ＜ 2$。
综上，$m$ 的取值范围是 $\frac{3}{2} ＜ m ＜ 2$。
【答案】
$\frac{3}{2}＜m＜2$
【知识点】
锐角的正弦值范围，一元一次不等式组解法
【点评】
本题结合锐角三角函数的性质与一元一次不等式组的求解，考查对锐角正弦值取值范围的掌握及不等式组的运算能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ B = 30°, AC = 2, \cos C = \dfrac{3}{5}$，则 $AB$ 边的长为
$\frac{16}{5}$
.答案
8. $\frac{16}{5}$
解析
【解析】
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$\mathrm{Rt} △ ADC$中，$\because AC=2$，$\cos C=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore CD=AC· \cos C=2×\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{5}$，
由$\sin C=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\sqrt{1-(\dfrac{3}{5})^{2}}=\dfrac{4}{5}$，
得$AD=AC· \sin C=2×\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}$。
在$\mathrm{Rt} △ ABD$中，$\because ∠ B=30°$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore AB=2AD=2×\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{16}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题，利用三角函数定义和直角三角形中30°角的性质求解，考查学生的转化思想与运算能力。
【难度系数】
0.6
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$\mathrm{Rt} △ ADC$中，$\because AC=2$，$\cos C=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore CD=AC· \cos C=2×\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{5}$，
由$\sin C=\sqrt{1-\cos^{2}C}=\sqrt{1-(\dfrac{3}{5})^{2}}=\dfrac{4}{5}$，
得$AD=AC· \sin C=2×\dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{5}$。
在$\mathrm{Rt} △ ABD$中，$\because ∠ B=30°$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore AB=2AD=2×\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{16}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题，利用三角函数定义和直角三角形中30°角的性质求解，考查学生的转化思想与运算能力。
【难度系数】
0.6
9. 人字梯为现代家庭常用的工具. 如图，若 $AB, AC$ 的长都为 $2\ \mathrm{m}$，当 $α = 65°$ 时，人字梯顶端离地面的高度是
1.8
$\mathrm{m}$. (结果精确到 $0.1\ \mathrm{m}$，参考依据：$\sin 65° \approx 0.91, \cos 65° \approx 0.42, \tan 65° \approx 2.14$)答案
9. 1.8
解析
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，AC=2m，∠ACD=65°，根据正弦函数的定义，$\sinα=\frac{AD}{AC}$，则$AD=AC·\sinα$。
代入数据得：$AD=2×\sin65°\approx2×0.91=1.82\approx1.8$（m）。
【答案】
1.8
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ADC中，AC=2m，∠ACD=65°，根据正弦函数的定义，$\sinα=\frac{AD}{AC}$，则$AD=AC·\sinα$。
代入数据得：$AD=2×\sin65°\approx2×0.91=1.82\approx1.8$（m）。
【答案】
1.8
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，关键是构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
