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1. 如图，某同学在楼房的 $ A $ 处测得荷塘的一端 $ B $ 处的俯角为 $ 30° $，荷塘另一端点 $ D $ 与点 $ C $，$ B $ 在同一直线上，已知楼房 $ AC = 32 $ 米，$ CD = 16 $ 米，则荷塘的宽 $ BD $ 为
$(32\sqrt{3}-16)$
米。答案
1.$(32\sqrt{3}-16)$
解析
【解析】
由题意可知，$AC ⊥ BC$，$∠ ABC = 30°$，$AC = 32$米，$CD = 16$米。
在$Rt△ ACB$中，根据锐角三角函数的定义，$\tan∠ ABC = \frac{AC}{BC}$，
则$BC = \frac{AC}{\tan30°} = \frac{32}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 32\sqrt{3}$米。
因为$BD = BC - CD$，所以$BD = 32\sqrt{3} - 16$米。
【答案】
$\boldsymbol{32\sqrt{3}-16}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用（俯角问题）
2. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，关键是将俯角转化为直角三角形中的内角，利用锐角三角函数求出相关边长，再结合线段的和差关系求解。
【难度系数】
0.6
由题意可知，$AC ⊥ BC$，$∠ ABC = 30°$，$AC = 32$米，$CD = 16$米。
在$Rt△ ACB$中，根据锐角三角函数的定义，$\tan∠ ABC = \frac{AC}{BC}$，
则$BC = \frac{AC}{\tan30°} = \frac{32}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 32\sqrt{3}$米。
因为$BD = BC - CD$，所以$BD = 32\sqrt{3} - 16$米。
【答案】
$\boldsymbol{32\sqrt{3}-16}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用（俯角问题）
2. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，关键是将俯角转化为直角三角形中的内角，利用锐角三角函数求出相关边长，再结合线段的和差关系求解。
【难度系数】
0.6
2. 如图，甲楼高 $ 21 $ m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是 $ 45° $，看乙楼底的俯角是 $ 30° $，则乙楼高度约为
57
m。(结果精确到 $ 1 $ m，$\sqrt{3} \approx 1.7$)答案
2.57
解析
【解析】
设甲楼顶到乙楼的水平距离为$ x $ m。
1. 由俯角$ 30° $，根据三角函数定义得$ \tan30° = \frac{21}{x} $，则$ x = \frac{21}{\tan30°} = 21\sqrt{3} \approx 21×1.7 = 35.7 $ m。
2. 由仰角$ 45° $，乙楼比甲楼高的部分为$ x·\tan45° = 35.7×1 = 35.7 $ m。
3. 乙楼高度为$ 21 + 35.7 = 56.7 \approx 57 $ m。
【答案】
57
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角俯角问题）
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，关键是利用仰角、俯角构造直角三角形，结合三角函数定义求解。
【难度系数】
0.6
设甲楼顶到乙楼的水平距离为$ x $ m。
1. 由俯角$ 30° $，根据三角函数定义得$ \tan30° = \frac{21}{x} $，则$ x = \frac{21}{\tan30°} = 21\sqrt{3} \approx 21×1.7 = 35.7 $ m。
2. 由仰角$ 45° $，乙楼比甲楼高的部分为$ x·\tan45° = 35.7×1 = 35.7 $ m。
3. 乙楼高度为$ 21 + 35.7 = 56.7 \approx 57 $ m。
【答案】
57
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角俯角问题）
【点评】
本题考查解直角三角形在实际生活中的应用，关键是利用仰角、俯角构造直角三角形，结合三角函数定义求解。
【难度系数】
0.6
3. 如图，点 $ P $，$ A $，$ B $，$ C $ 在同一平面内，点 $ A $，$ B $，$ C $ 在同一直线上，且 $ PC ⊥ AC $，在点 $ A $ 处测得点 $ P $ 在北偏东 $ 60° $ 方向上，在点 $ B $ 处测得点 $ P $ 在北偏东 $ 30° $ 方向上。若 $ AP = 12 $ 千米，则 $ A $，$ B $ 两点的距离为
$4\sqrt{3}$
千米。答案
3.$4\sqrt{3}$
解析
【解析】
由题意得：$∠ PAC = 90° - 60° = 30°$，$∠ PBC = 90° - 30° = 60°$。
因为$∠ PBC$是$△ ABP$的外角，所以$∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAC = 60° - 30° = 30°$，故$AB = BP$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$∠ ACP = 90°$，$∠ PAC = 30°$，$AP = 12$千米，
所以$PC = AP·\sin30° = 12×\frac{1}{2} = 6$千米。
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，$∠ BCP = 90°$，$∠ PBC = 60°$，
所以$BP = \frac{PC}{\sin60°} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}$千米，
因此$AB = BP = 4\sqrt{3}$千米。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，等腰三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，关键是通过角度关系推导等腰三角形，结合特殊角的三角函数值完成计算，需熟练掌握直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6
由题意得：$∠ PAC = 90° - 60° = 30°$，$∠ PBC = 90° - 30° = 60°$。
因为$∠ PBC$是$△ ABP$的外角，所以$∠ APB = ∠ PBC - ∠ PAC = 60° - 30° = 30°$，故$AB = BP$。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，$∠ ACP = 90°$，$∠ PAC = 30°$，$AP = 12$千米，
所以$PC = AP·\sin30° = 12×\frac{1}{2} = 6$千米。
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，$∠ BCP = 90°$，$∠ PBC = 60°$，
所以$BP = \frac{PC}{\sin60°} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}$千米，
因此$AB = BP = 4\sqrt{3}$千米。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形，等腰三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，关键是通过角度关系推导等腰三角形，结合特殊角的三角函数值完成计算，需熟练掌握直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6
4. 如图，一艘轮船位于灯塔 $ P $ 的北偏东方向 $ 55° $，距离灯塔为 $ 2 $ 海里的点 $ A $ 处。如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东位置，那么轮船航行的距离 $ AB $ 长是(
A.$ 2 $ 海里
B.$ 2\sin 55° $ 海里
C.$ 2\cos 55° $ 海里
D.$ 2\tan 55° $ 海里
C
)A.$ 2 $ 海里
B.$ 2\sin 55° $ 海里
C.$ 2\cos 55° $ 海里
D.$ 2\tan 55° $ 海里
答案
4.C
解析
【解析】
根据题意可知，$△ ABP$是直角三角形，$∠ ABP=90°$，轮船位于灯塔$P$的北偏东$55°$，结合平行线的内错角相等，可得$∠ PAB=55°$，且$PA=2$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由余弦的定义$\cos∠ PAB=\frac{AB}{PA}$，变形可得$AB=PA·\cos55°=2\cos55°$海里。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用-方向角问题
【点评】
本题考查解直角三角形在方向角问题中的应用，关键是准确识别方向角，利用余弦函数的定义建立线段间的关系求解。
【难度系数】
0.6
根据题意可知，$△ ABP$是直角三角形，$∠ ABP=90°$，轮船位于灯塔$P$的北偏东$55°$，结合平行线的内错角相等，可得$∠ PAB=55°$，且$PA=2$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，由余弦的定义$\cos∠ PAB=\frac{AB}{PA}$，变形可得$AB=PA·\cos55°=2\cos55°$海里。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用-方向角问题
【点评】
本题考查解直角三角形在方向角问题中的应用，关键是准确识别方向角，利用余弦函数的定义建立线段间的关系求解。
【难度系数】
0.6
