登录
11. 如图，一根竖直的木杆在离地面 $ 3.1\ \mathrm{m} $ 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成 $ 38° $ 角，求木杆折断之前高度约为多少。(参考数据：$ \sin 38° \approx 0.62 $，$ \cos 38° \approx 0.79 $，$ \tan 38° \approx 0.78 $)
答案
11. 8.1m
解析
【解析】
设折断后木杆顶端到折断处的长度为$ x\ \mathrm{m} $。
在直角三角形中，已知对边为$ 3.1\ \mathrm{m} $，木杆顶端与地面夹角为$ 38° $，根据正弦函数定义：
$ \sin 38° = \frac{3.1}{x} $
代入$ \sin 38° \approx 0.62 $，得：
$ x = \frac{3.1}{0.62} = 5\ \mathrm{m} $
则木杆折断之前的高度为$ 3.1 + 5 = 8.1\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 8.1\ \mathrm{m} $
【知识点】
锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，关键是利用正弦函数求出折断部分的长度，进而求出木杆原长。
【难度系数】
0.6
设折断后木杆顶端到折断处的长度为$ x\ \mathrm{m} $。
在直角三角形中，已知对边为$ 3.1\ \mathrm{m} $，木杆顶端与地面夹角为$ 38° $，根据正弦函数定义：
$ \sin 38° = \frac{3.1}{x} $
代入$ \sin 38° \approx 0.62 $，得：
$ x = \frac{3.1}{0.62} = 5\ \mathrm{m} $
则木杆折断之前的高度为$ 3.1 + 5 = 8.1\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 8.1\ \mathrm{m} $
【知识点】
锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查锐角三角函数在实际生活中的应用，关键是利用正弦函数求出折断部分的长度，进而求出木杆原长。
【难度系数】
0.6
12. 如图①，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图②，此时测得点 $ A $ 到 $ BC $ 所在直线的距离 $ AC = 3\ \mathrm{m} $，$ ∠ CAB = 60° $，停止位置示意图如图③，此时测得 $ ∠ CDB = 37° $(点 $ C $，$ A $，$ D $ 在同一直线上，且直线 $ CD $ 与地面平行)，图③中所有点都在同一平面内。定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变。
(1) 求 $ AB $ 的长；
(2) 求物体上升的高度 $ CE $(结果精确到 $ 0.1\ \mathrm{m} $)。
(参考数据：$ \sin 37° \approx 0.60 $，$ \cos 37° \approx 0.80 $，$ \tan 37° \approx 0.75 $，$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)
(1) 求 $ AB $ 的长；
(2) 求物体上升的高度 $ CE $(结果精确到 $ 0.1\ \mathrm{m} $)。
(参考数据：$ \sin 37° \approx 0.60 $，$ \cos 37° \approx 0.80 $，$ \tan 37° \approx 0.75 $，$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)
答案
12. 解：(1)在$Rt△ ABC$中，$AC=3$m，$∠ CAB=60°$，
$\therefore∠ ABC=30°$，
$\therefore AB=2AC=6$m，
则AB的长为6m。
(2)在$Rt△ ABC$中，$AB=6$m，$AC=3$m，
根据勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\approx5.19$(m)。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CDB=37°,\sin37°\approx0.60$，
$\therefore\sin∠ CDB=\frac{BC}{BD}$，即$\frac{5.19}{BD}\approx0.60$，
$\therefore BD\approx8.65$(m)。
$\because BA+BC=BE+BD$，
$\therefore BE=2.54$(m)，
$\therefore CE=BC-BE\approx2.7$(m)。
则物体上升的高度CE约为2.7m。
$\therefore∠ ABC=30°$，
$\therefore AB=2AC=6$m，
则AB的长为6m。
(2)在$Rt△ ABC$中，$AB=6$m，$AC=3$m，
根据勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\approx5.19$(m)。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CDB=37°,\sin37°\approx0.60$，
$\therefore\sin∠ CDB=\frac{BC}{BD}$，即$\frac{5.19}{BD}\approx0.60$，
$\therefore BD\approx8.65$(m)。
$\because BA+BC=BE+BD$，
$\therefore BE=2.54$(m)，
$\therefore CE=BC-BE\approx2.7$(m)。
则物体上升的高度CE约为2.7m。
解析
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$AC=3\ \mathrm{m}$，$∠CAB=60°$，
$\therefore ∠ABC=30°$，
$\therefore AB=2AC=6\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\approx5.19\ \mathrm{m}$。
在$Rt△BCD$中，$∠CDB=37°$，$\sin37°\approx0.60$，
$\because \sin∠CDB=\frac{BC}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{BC}{\sin37°}\approx\frac{5.19}{0.60}=8.65\ \mathrm{m}$。
$\because$ 绳子总长不变，即$BA+BC=BE+BD$，
$\therefore BE=BA+BC-BD=6+5.19-8.65\approx2.54\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE=BC-BE\approx5.19-2.54\approx2.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $AB$的长为$6\ \mathrm{m}$；
(2) 物体上升的高度$CE$约为$2.7\ \mathrm{m}$。
【知识点】
直角三角形性质、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，需结合直角三角形性质与三角函数求解，关键是利用绳子总长不变建立等量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 在$Rt△ABC$中，$AC=3\ \mathrm{m}$，$∠CAB=60°$，
$\therefore ∠ABC=30°$，
$\therefore AB=2AC=6\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}\approx5.19\ \mathrm{m}$。
在$Rt△BCD$中，$∠CDB=37°$，$\sin37°\approx0.60$，
$\because \sin∠CDB=\frac{BC}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{BC}{\sin37°}\approx\frac{5.19}{0.60}=8.65\ \mathrm{m}$。
$\because$ 绳子总长不变，即$BA+BC=BE+BD$，
$\therefore BE=BA+BC-BD=6+5.19-8.65\approx2.54\ \mathrm{m}$，
$\therefore CE=BC-BE\approx5.19-2.54\approx2.7\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $AB$的长为$6\ \mathrm{m}$；
(2) 物体上升的高度$CE$约为$2.7\ \mathrm{m}$。
【知识点】
直角三角形性质、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，需结合直角三角形性质与三角函数求解，关键是利用绳子总长不变建立等量关系。
【难度系数】
0.6
