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9. 小明春游去登某座山，其地形险峻。由山脚 $ A $ 沿坡角为 $ 30° $ 的山坡 $ AB $ 行走 $ 480 $ 米，到达一个景点 $ B $，再由 $ B $ 地沿山坡 $ BC $ 行走 $ 360 $ 米到达山顶 $ C $。若在山顶 $ C $ 处观测到景点 $ B $ 的俯角为 $ 45° $，求山高 $ CD $ 是多少米？
答案
9. 解：过点B作$BE⊥AD$于点E，作$BF⊥CD$于点F。在直角$△ ABE$中，$∠ A=30°$，
则$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×480=240$(米)。
在直角$△ BCF$中，$∠ CBF=45°$，则$CF=BC·\sin45°=360×\frac{\sqrt{2}}{2}=180\sqrt{2}$(米)。
所以$CD=CF+DF=CF+BE=(240+180\sqrt{2})$米。
答：山高CD是$(240+180\sqrt{2})$米。
解析
【解析】
过点B作$BE⊥AD$于点E，作$BF⊥CD$于点F。
1. 在$Rt△ABE$中，$∠A=30°$，$AB=480$米，
$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×480=240$（米），
因四边形BEDF是矩形，故$DF=BE=240$米。
2. 在$Rt△BCF$中，由山顶C观测B的俯角为45°，得$∠CBF=45°$，$BC=360$米，
$CF=BC·\sin45°=360×\frac{\sqrt{2}}{2}=180\sqrt{2}$（米）。
3. 山高$CD=CF+DF=180\sqrt{2}+240$（米）。
【答案】
山高$CD$是$(240+180\sqrt{2})$米
【知识点】
解直角三角形的应用；含30°角的直角三角形性质；俯角的应用
【点评】
本题考查解直角三角形在坡度坡角问题中的实际应用，需通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何问题，利用特殊角的三角函数值求解，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
过点B作$BE⊥AD$于点E，作$BF⊥CD$于点F。
1. 在$Rt△ABE$中，$∠A=30°$，$AB=480$米，
$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×480=240$（米），
因四边形BEDF是矩形，故$DF=BE=240$米。
2. 在$Rt△BCF$中，由山顶C观测B的俯角为45°，得$∠CBF=45°$，$BC=360$米，
$CF=BC·\sin45°=360×\frac{\sqrt{2}}{2}=180\sqrt{2}$（米）。
3. 山高$CD=CF+DF=180\sqrt{2}+240$（米）。
【答案】
山高$CD$是$(240+180\sqrt{2})$米
【知识点】
解直角三角形的应用；含30°角的直角三角形性质；俯角的应用
【点评】
本题考查解直角三角形在坡度坡角问题中的实际应用，需通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何问题，利用特殊角的三角函数值求解，体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.6
10. 某景区 $ A $，$ B $ 两个景点位于湖泊两侧，游客从景点 $ A $ 到景点 $ B $ 必须经过 $ C $ 处才能到达。观测得景点 $ B $ 在景点 $ A $ 的北偏东 $ 30° $，从景点 $ A $ 出发向正北方向步行 $ 600 $ 米到达 $ C $ 处，测得景点 $ B $ 在 $ C $ 的北偏东 $ 75° $ 方向。
(1) 求景点 $ B $ 和 $ C $ 处之间的距离。(结果保留根号)
(2) 当地政府为了方便游客游览，打算修建一条从景点 $ A $ 到景点 $ B $ 的笔直的跨湖大桥。大桥修建后，从景点 $ A $ 到景点 $ B $ 比原来少走多少米？(结果保留整数。参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.414 $，$ \sqrt{3} \approx 1.732 $)
(1) 求景点 $ B $ 和 $ C $ 处之间的距离。(结果保留根号)
(2) 当地政府为了方便游客游览，打算修建一条从景点 $ A $ 到景点 $ B $ 的笔直的跨湖大桥。大桥修建后，从景点 $ A $ 到景点 $ B $ 比原来少走多少米？(结果保留整数。参考数据：$ \sqrt{2} \approx 1.414 $，$ \sqrt{3} \approx 1.732 $)
答案
10. 解：(1)过点C作$CD⊥AB$于点D。
由题意得$∠ A=30°$，
$∠ BCE=75°,AC=600$米，
在$Rt△ ACD$中，$∠ A=30°$，
$AC=600$米，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=300$(米)，
$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=300\sqrt{3}$(米)。
$\because∠ BCE=75°=∠ A+∠ B$，
$\therefore∠ B=75°-∠ A=45°$，
$\therefore CD=BD=300$(米)，$BC=\sqrt{2}CD=300\sqrt{2}$(米)。
答：景点B和C处之间的距离为$300\sqrt{2}$米。
(2)由题意得$AC+BC=(600+300\sqrt{2})$米，
$AB=AD+BD=(300+300\sqrt{3})$米，
$\therefore AC+BC-AB=(600+300\sqrt{2})-(300+300\sqrt{3})\approx204.6\approx205$(米)。
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205米。
解析
【解析】
(1) 过点$ C $作$ CD ⊥ AB $于点$ D $。
由题意得$ ∠ A = 30° $，$ ∠ BCE = 75° $，$ AC = 600 $米。
在$ \mathrm{Rt}△ ACD $中，$ ∠ A = 30° $，$ AC = 600 $米，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 300$米，$ AD = \frac{\sqrt{3}}{2}AC = 300\sqrt{3} $米。
$\because ∠ BCE = 75° = ∠ A + ∠ B$，
$\therefore ∠ B = 75° - 30° = 45°$。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ B = 45° $，$ CD = 300 $米，
$\therefore CD = BD = 300$米，$ BC = \sqrt{2}CD = 300\sqrt{2} $米。
(2) 由题意得$ AC + BC = 600 + 300\sqrt{2} $米，
$ AB = AD + BD = 300\sqrt{3} + 300 $米，
$\therefore AC + BC - AB = (600 + 300\sqrt{2}) - (300 + 300\sqrt{3}) \approx 300 + 300×1.414 - 300×1.732 \approx 204.6 \approx 205$米。
【答案】
(1) 景点$ B $和$ C $处之间的距离为$ 300\sqrt{2} $米；
(2) 大桥修建后，从景点$ A $到景点$ B $比原来少走约205米。
【知识点】
解直角三角形的应用-方向角问题，含30°角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解，考查了解直角三角形在实际生活中的应用，体现了数形结合思想。
【难度系数】
0.6
(1) 过点$ C $作$ CD ⊥ AB $于点$ D $。
由题意得$ ∠ A = 30° $，$ ∠ BCE = 75° $，$ AC = 600 $米。
在$ \mathrm{Rt}△ ACD $中，$ ∠ A = 30° $，$ AC = 600 $米，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 300$米，$ AD = \frac{\sqrt{3}}{2}AC = 300\sqrt{3} $米。
$\because ∠ BCE = 75° = ∠ A + ∠ B$，
$\therefore ∠ B = 75° - 30° = 45°$。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ B = 45° $，$ CD = 300 $米，
$\therefore CD = BD = 300$米，$ BC = \sqrt{2}CD = 300\sqrt{2} $米。
(2) 由题意得$ AC + BC = 600 + 300\sqrt{2} $米，
$ AB = AD + BD = 300\sqrt{3} + 300 $米，
$\therefore AC + BC - AB = (600 + 300\sqrt{2}) - (300 + 300\sqrt{3}) \approx 300 + 300×1.414 - 300×1.732 \approx 204.6 \approx 205$米。
【答案】
(1) 景点$ B $和$ C $处之间的距离为$ 300\sqrt{2} $米；
(2) 大桥修建后，从景点$ A $到景点$ B $比原来少走约205米。
【知识点】
解直角三角形的应用-方向角问题，含30°角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解，考查了解直角三角形在实际生活中的应用，体现了数形结合思想。
【难度系数】
0.6
