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5. 如图，$ △ ABC $ 在网格(小正方形的边长均为 $ 1 $)中，则 $ \cos ∠ ABC $ 的值是(
A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ \dfrac{4}{3} $
C.$ \dfrac{3}{5} $
D.$ \dfrac{4}{5} $
D
)A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ \dfrac{4}{3} $
C.$ \dfrac{3}{5} $
D.$ \dfrac{4}{5} $
答案
5. D
解析
【解析】
观察网格，过点A作AD⊥BC的延长线于点D，可得BD=4，AD=3。根据勾股定理，AB=√(BD²+AD²)=√(4²+3²)=5。
在Rt△ABD中，根据余弦的定义，cos∠ABC=BD/AB=4/5。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题借助网格背景考查余弦值的计算，解题关键是构造含∠ABC的直角三角形，利用勾股定理求出相关边长，再结合余弦定义求解。
【难度系数】
0.7
观察网格，过点A作AD⊥BC的延长线于点D，可得BD=4，AD=3。根据勾股定理，AB=√(BD²+AD²)=√(4²+3²)=5。
在Rt△ABD中，根据余弦的定义，cos∠ABC=BD/AB=4/5。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题借助网格背景考查余弦值的计算，解题关键是构造含∠ABC的直角三角形，利用勾股定理求出相关边长，再结合余弦定义求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，拦水坝的横断面为梯形 $ ABCD $，已知上底 $ CB = 5\ \mathrm{m} $，迎水面坡度为 $ 1:\sqrt{3} $，背水面坡度为 $ 1:1 $，坝高为 $ 4\ \mathrm{m} $，求：
(1) 坡角 $ α $，$ β $；
(2) 图中迎水坡 $ CD $ 的长；
(3) 坝底宽 $ AD $ 的长。
(1) 坡角 $ α $，$ β $；
(2) 图中迎水坡 $ CD $ 的长；
(3) 坝底宽 $ AD $ 的长。
答案
6. 解：(1)过C作$CE⊥AD$于点E，过B作$BF⊥AD$于点F，如图所示。
$\because\tanα=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\thereforeα=30°$。
$\because\tanβ=\frac{BF}{AF}=1$，
$\thereforeβ=45°$。
(2)由(1)可知$α=30°$，
$\therefore CD=\frac{CE}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$(m)。
(3)$\becauseα=30°,β=45°$，
$\therefore DE=\sqrt{3}CE=4\sqrt{3}$，
$\therefore AF=BF=4$(m)，
$\therefore AD=DE+EF+AF=4\sqrt{3}+5+4=(4\sqrt{3}+9)$m。
解析
【解析】
(1) 过C作$CE⊥AD$于点E，过B作$BF⊥AD$于点F。
由迎水面坡度为$1:\sqrt{3}$，得$\tanα=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$α=30°$；
由背水面坡度为$1:1$，得$\tanβ=\frac{BF}{AF}=1$，故$β=45°$。
(2) 已知坝高$CE=4\ \mathrm{m}$，在$Rt△CDE$中，$\sinα=\frac{CE}{CD}$，则$CD=\frac{CE}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8\ \mathrm{m}$。
(3) 在$Rt△CDE$中，$DE=\sqrt{3}CE=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；在$Rt△ABF$中，$AF=BF=4\ \mathrm{m}$，又$EF=CB=5\ \mathrm{m}$，因此$AD=DE+EF+AF=4\sqrt{3}+5+4=(4\sqrt{3}+9)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $α=30°$，$β=45°$；
(2) $CD=8\ \mathrm{m}$；
(3) $AD=(4\sqrt{3}+9)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
坡度与坡角的关系，直角三角形边角关系，梯形的性质
【点评】
本题通过作高将梯形转化为直角三角形和矩形，利用坡度、坡角定义及三角函数求解，体现了转化思想在解梯形问题中的应用，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 过C作$CE⊥AD$于点E，过B作$BF⊥AD$于点F。
由迎水面坡度为$1:\sqrt{3}$，得$\tanα=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$α=30°$；
由背水面坡度为$1:1$，得$\tanβ=\frac{BF}{AF}=1$，故$β=45°$。
(2) 已知坝高$CE=4\ \mathrm{m}$，在$Rt△CDE$中，$\sinα=\frac{CE}{CD}$，则$CD=\frac{CE}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8\ \mathrm{m}$。
(3) 在$Rt△CDE$中，$DE=\sqrt{3}CE=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；在$Rt△ABF$中，$AF=BF=4\ \mathrm{m}$，又$EF=CB=5\ \mathrm{m}$，因此$AD=DE+EF+AF=4\sqrt{3}+5+4=(4\sqrt{3}+9)\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $α=30°$，$β=45°$；
(2) $CD=8\ \mathrm{m}$；
(3) $AD=(4\sqrt{3}+9)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
坡度与坡角的关系，直角三角形边角关系，梯形的性质
【点评】
本题通过作高将梯形转化为直角三角形和矩形，利用坡度、坡角定义及三角函数求解，体现了转化思想在解梯形问题中的应用，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
7. 如图，斜面 $ AC $ 的坡度( $ CD $ 与 $ AD $ 的比)为 $ 1:2 $，$ AC = 3\sqrt{5}\ \mathrm{m} $，坡顶有一旗杆 $ BC $，旗杆顶端 $ B $ 点与 $ A $ 点有一条彩带相连。若 $ AB = 10\ \mathrm{m} $，则旗杆 $ BC $ 的高度为
5
$\mathrm{m}$。答案
7. 5
解析
【解析】
设 $ CD = x\ \mathrm{m} $，因为斜面 $ AC $ 的坡度为 $ 1:2 $，所以 $ AD = 2x\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，由勾股定理得：
$ CD^2 + AD^2 = AC^2 $，即 $ x^2 + (2x)^2 = (3\sqrt{5})^2 $，
解得 $ x = 3 $（舍去负根），则 $ CD = 3\ \mathrm{m} $，$ AD = 6\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，由勾股定理得：
$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\ \mathrm{m} $，
所以 $ BC = BD - CD = 8 - 3 = 5\ \mathrm{m} $。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，坡度的定义
【点评】
本题考查坡度与勾股定理的综合应用，解题关键是理解坡度的含义，通过设未知数，利用勾股定理逐步求出相关线段长度，进而得到旗杆高度。
【难度系数】
0.6
设 $ CD = x\ \mathrm{m} $，因为斜面 $ AC $ 的坡度为 $ 1:2 $，所以 $ AD = 2x\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，由勾股定理得：
$ CD^2 + AD^2 = AC^2 $，即 $ x^2 + (2x)^2 = (3\sqrt{5})^2 $，
解得 $ x = 3 $（舍去负根），则 $ CD = 3\ \mathrm{m} $，$ AD = 6\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABD $ 中，由勾股定理得：
$ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\ \mathrm{m} $，
所以 $ BC = BD - CD = 8 - 3 = 5\ \mathrm{m} $。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，坡度的定义
【点评】
本题考查坡度与勾股定理的综合应用，解题关键是理解坡度的含义，通过设未知数，利用勾股定理逐步求出相关线段长度，进而得到旗杆高度。
【难度系数】
0.6
8. 上午 $ 9 $ 时，一条船从 $ A $ 处出发，以每小时 $ 40 $ 海里的速度向正东方向航行，$ 9 $ 时 $ 30 $ 分到达 $ B $ 处(如图)。从 $ A $，$ B $ 两处分别测得小岛 $ M $ 在北偏东 $ 45° $ 和北偏东 $ 15° $ 方向，那么在 $ B $ 处船与小岛 $ M $ 的距离为(
A.$ 20 $ 海里
B.$ 20\sqrt{2} $ 海里
C.$ 10\sqrt{2} $ 海里
D.$ 20\sqrt{3} $ 海里
B
)A.$ 20 $ 海里
B.$ 20\sqrt{2} $ 海里
C.$ 10\sqrt{2} $ 海里
D.$ 20\sqrt{3} $ 海里
答案
8. B
解析
【解析】
1. 计算$AB$的长度：
船从$A$到$B$用时30分钟，即0.5小时，速度为40海里/小时，
所以$AB = 40 × 0.5 = 20$海里。
2. 求$△ ABM$的内角：
由题意，$∠ MAB = 90° - 45° = 45°$，
$∠ ABM = 90° + 15° = 105°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ AMB = 180° - 45° - 105° = 30°$。
3. 利用正弦定理求$BM$：
在$△ ABM$中，由正弦定理$\frac{BM}{\sin∠ MAB} = \frac{AB}{\sin∠ AMB}$，
代入数据：
$BM = \frac{AB · \sin45°}{\sin30°} = \frac{20 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 20\sqrt{2}$海里。
【答案】
B
【知识点】
方位角的应用；正弦定理；行程公式
【点评】
本题结合方位角与三角形边角关系，考查正弦定理的实际应用，解题关键是准确分析三角形内角度数，合理运用正弦定理求解。
【难度系数】
0.6
1. 计算$AB$的长度：
船从$A$到$B$用时30分钟，即0.5小时，速度为40海里/小时，
所以$AB = 40 × 0.5 = 20$海里。
2. 求$△ ABM$的内角：
由题意，$∠ MAB = 90° - 45° = 45°$，
$∠ ABM = 90° + 15° = 105°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ AMB = 180° - 45° - 105° = 30°$。
3. 利用正弦定理求$BM$：
在$△ ABM$中，由正弦定理$\frac{BM}{\sin∠ MAB} = \frac{AB}{\sin∠ AMB}$，
代入数据：
$BM = \frac{AB · \sin45°}{\sin30°} = \frac{20 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 20\sqrt{2}$海里。
【答案】
B
【知识点】
方位角的应用；正弦定理；行程公式
【点评】
本题结合方位角与三角形边角关系，考查正弦定理的实际应用，解题关键是准确分析三角形内角度数，合理运用正弦定理求解。
【难度系数】
0.6
