5. 如图，一艘客轮从小岛 $ A $ 沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛 $ A $ 正东方向相距 $ (100 + 100\sqrt{3}) $ 海里的港口 $ B $ 出发，沿北偏西 $ 60° $ 方向航行，与客轮同时到达 $ C $ 处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为()


A.$\sqrt{2} : 2$
B.$\sqrt{2} : 1$
C.$\sqrt{3} : 2$
D.$\sqrt{3} : 1$

5.A

【解析】
过点$ C $作$ CD ⊥ AB $于点$ D $，设$ AD = x $海里。
因为客轮沿东北方向航行，所以$ ∠ CAD = 45° $，在$ \mathrm{Rt}△ ACD $中，$ CD = AD = x $，$ AC = \sqrt{2}x $。
由补给船沿北偏西$ 60° $方向航行，得$ ∠ CBD = 30° $，在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ BD = \frac{CD}{\tan30°} = \sqrt{3}x $，$ BC = \frac{CD}{\sin30°} = 2x $。
已知$ AB = AD + BD = x + \sqrt{3}x = (1+\sqrt{3})x $，且$ AB = 100(1+\sqrt{3}) $海里，故$ (1+\sqrt{3})x = 100(1+\sqrt{3}) $，解得$ x = 100 $。
因此$ AC = 100\sqrt{2} $海里，$ BC = 200 $海里。
由于两船同时到达，时间相同，速度比等于路程比，故客轮与补给船的速度之比为$ AC:BC = 100\sqrt{2}:200 = \sqrt{2}:2 $。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的方向角应用；路程速度时间关系
【点评】
本题考查解直角三角形在航海方向角问题中的应用，通过构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值计算边长，结合路程与速度的关系求解速度比，关键是准确分析角度并合理构造直角三角形。
【难度系数】
0.6

6. 如图，港口 $ B $ 位于岛 $ A $ 的北偏西 $ 37° $ 方向，灯塔 $ C $ 在岛 $ A $ 的正东方向，$ AC = 6 $ km，一艘海轮 $ D $ 在岛 $ A $ 的正北方向，且 $ B $，$ D $，$ C $ 三点在一条直线上，$ DC = \frac{5}{2}BD $。
（1）求岛 $ A $ 与港口 $ B $ 之间的距离；
（2）求 $ \tan C $。
（参考数据：$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$）

6.解:(1)如图,过点B作$BM⊥ AD$,垂足为M.

$\because AC⊥ AD$,$\therefore BM// AC$,
$\therefore △ BDM∽ △ CDA$,
$\therefore \frac{BM}{CA}=\frac{BD}{CD}$.
$\because DC=\frac{5}{2}BD$,$AC=6(\mathrm{km})$,
$\therefore \frac{BM}{6}=\frac{2}{5}$,得$BM=\frac{12}{5}(\mathrm{km})$.
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,由$\sin∠ BAD=\sin37°=\frac{BM}{AB}=\frac{\frac{12}{5}}{AB}\approx\frac{3}{5}$,得$AB=4(\mathrm{km})$.
答:岛A与港口B之间的距离为4km.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$AM=AB×\cos37°\approx4×\frac{4}{5}=\frac{16}{5}(\mathrm{km})$.
$\because △ BDM∽ △ CDA$,$\therefore \frac{DM}{AD}=\frac{BD}{CD}=\frac{2}{5}$,
$\therefore AD=\frac{5}{7}AM=\frac{5}{7}×\frac{16}{5}=\frac{16}{7}(\mathrm{km})$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\tan C=\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{16}{7}}{6}=\frac{8}{21}$.

【解析】
（1）过点$B$作$BM⊥AD$，垂足为$M$。
$\because AC⊥AD$，$\therefore BM// AC$，$\therefore △ BDM∽△ CDA$，
$\therefore \frac{BM}{CA}=\frac{BD}{CD}$。
已知$DC=\frac{5}{2}BD$，$AC=6$ km，$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{2}{5}$，
代入得$\frac{BM}{6}=\frac{2}{5}$，解得$BM=\frac{12}{5}$ km。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$\sin∠ BAD=\sin37°=\frac{BM}{AB}\approx\frac{3}{5}$，
即$\frac{\frac{12}{5}}{AB}\approx\frac{3}{5}$，解得$AB=4$ km。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$\cos37°=\frac{AM}{AB}\approx\frac{4}{5}$，
$\therefore AM=AB×\cos37°\approx4×\frac{4}{5}=\frac{16}{5}$ km。
由$△ BDM∽△ CDA$，得$\frac{DM}{AD}=\frac{BD}{CD}=\frac{2}{5}$，即$DM=\frac{2}{5}AD$。
$\because AM=AD+DM=AD+\frac{2}{5}AD=\frac{7}{5}AD$，
$\therefore AD=\frac{5}{7}AM=\frac{5}{7}×\frac{16}{5}=\frac{16}{7}$ km。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{AC}=\frac{\frac{16}{7}}{6}=\frac{8}{21}$。
【答案】
（1）岛$A$与港口$B$之间的距离为$\boldsymbol{4}$ km；
（2）$\tan C=\boldsymbol{\frac{8}{21}}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 解直角三角形
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题考查解直角三角形与相似三角形的综合应用，通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义求解，解题关键是准确构造辅助线，理清线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6

7. 如图，$ B $，$ D $ 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 $ 100 $ km，某时发生的地震对地面上以点 $ A $ 为圆心，$ 30 $ km 为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从 $ B $，$ D $ 两地处测得点 $ A $ 的方位角如图所示，高速铁路(填“会”或“不会”)受到地震的影响。(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$)

7.不会

【解析】
过点$ A $作$ AC ⊥ BD $于点$ C $，设$ AC = x $ km。
由方位角可知：$ ∠ ABC = 45° $，$ ∠ ADC = 30° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ \tan45° = \frac{AC}{BC} = 1 $，故$ BC = AC = x $；
在$ \mathrm{Rt}△ ADC $中，$ \tan30° = \frac{AC}{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3} $，故$ CD = \frac{AC}{\tan30°} = \sqrt{3}x $。
因为$ BD = BC + CD = 100 $ km，所以$ x + \sqrt{3}x = 100 $，
解得$ x = \frac{100}{1+\sqrt{3}} = 50(\sqrt{3}-1) \approx 36.6 $ km。
因为$ 36.6 ＞ 30 $，所以高速铁路不会受到地震的影响。
【答案】
不会
【知识点】
解直角三角形的应用-方位角问题；锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形在方位角问题中的实际应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将方位角转化为直角三角形的内角，利用三角函数建立方程求解点$ A $到高速铁路的距离，再与地震影响半径比较判断是否受影响。
【难度系数】
0.6