7. 如图，两张宽均为$0.5\mathrm{cm}$的纸条交叉重叠成四边形$ABCD$。若$∠ α = 30°$，则四边形$ABCD$的对角线$BD$上的动点$P$到$A$，$B$，$C$三点距离之和的最小值是()

A.$\sqrt{2}\mathrm{cm}$
B.$\sqrt{3}\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$
D.$3\mathrm{cm}$

C

1. 证明四边形$ABCD$是菱形：
由纸条交叉重叠得$AB// CD$，$AD// BC$，故$ABCD$是平行四边形；
纸条宽相等，即平行四边形的高相等，结合面积公式（面积=底×高），得邻边相等，因此$ABCD$是菱形。
2. 计算菱形边长：
已知$∠ α = 30°$，纸条宽（菱形的高）为$0.5\mathrm{cm}$，则菱形边长$AB=\frac{0.5}{\sin30°}=1\mathrm{cm}$。
3. 求距离之和的最小值：
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-30°=150°≥120°$，根据费马点性质，当$P$与$B$重合时，$PA+PB+PC$取得最小值，此时$PA+PB+PC=AB+BC=1+1=2\mathrm{cm}$。

二、填空题(每小题3分，共21分)
8. 在$□ ABCD$中，若$∠ A = 3∠ B$，则$∠ D =$$°$。

解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A + ∠B = 180°，∠D = ∠B，
又∵∠A = 3∠B，
∴3∠B + ∠B = 180°，
解得∠B = 45°，
∴∠D = ∠B = 45°。

9. 在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AC = BD$，添加一个条件，使四边形$ABCD$为矩形，这个条件可以是(填一个即可)。

$AD=BC$（答案不唯一，如$AB// CD$、$∠ ABC=90°$等均可）

已知$AD// BC$，若添加条件$AD=BC$，则四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又因为$AC=BD$，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形$ABCD$为矩形。

10. 若菱形的两条对角线长分别为10和24，则此菱形的周长为。

52

菱形的对角线互相垂直平分，已知两条对角线长为10和24，则对角线的一半分别为5和12。由勾股定理可得菱形的边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$，因此菱形的周长为$4×13=52$。

11. 如图，矩形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$。若$AB = 1$，$∠ AOB = 60°$，则此矩形$ABCD$的面积为。

$\boldsymbol{\sqrt{3}}$

1. 由矩形性质可知：$AC=BD$，$OA=OB$，$∠ ABC=90°$；
2. 因为$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$为等边三角形，得$OA=AB=1$，因此$AC=2OA=2$；
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
4. 矩形$ABCD$的面积$=AB× BC=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$是$AB$的中点，延长$CB$至点$E$，使$BE = BC$，连接$DE$，$F$是$DE$的中点，连接$BF$。若$AC = 16$，$BC = 12$，则$BF$的长为。

5

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 16$，$BC = 12$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$；
2. 因为$D$是$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$CD=\frac{1}{2}AB=10$；
3. 由$BE = BC$可知$B$是$CE$的中点，又$F$是$DE$的中点，根据三角形中位线定理，$BF$是$△ CDE$的中位线，故$BF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。

13. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$AB$上一点，$DE// AC$，交$BC$于点$E$，$DF// BC$，交$AC$于点$F$。有下列条件：①$∠ ACB = 90°$；②$CD$平分$∠ ACB$；③$AC = BC$，$AD = BD$。选择条件能使四边形$DECF$是菱形。

②（或③，或②③）

1. 由$DE// AC$，$DF// BC$，可得四边形$DECF$是平行四边形，依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2. 若选条件②：
因为$CD$平分$∠ ACB$，所以$∠ ACD=∠ BCD$；又$DE// AC$，则$∠ ACD=∠ CDE$，故$∠ BCD=∠ CDE$，得$CE=DE$。
邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形$DECF$是菱形。
3. 若选条件③：
因为$AC=BC$，$AD=BD$，根据等腰三角形三线合一，$CD$平分$∠ ACB$；同时$DF$、$DE$是$△ ABC$的中位线，得$DF=\frac{1}{2}BC$，$DE=\frac{1}{2}AC$，由$AC=BC$得$DF=DE$。
邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形$DECF$是菱形。
4. 若选条件①：$∠ ACB=90°$，则平行四边形$DECF$是矩形，不是菱形，故①不符合。
综上，条件②或③或②③可使四边形$DECF$是菱形。

14. 如图，以$△ ABC$的边$AB$，$AC$为边向外作正方形$ABEF$与正方形$ACGD$，连接$BD$，$CF$，$DF$。若$AB = 2$，$AC = 4$，则$BC^{2} + DF^{2}$的值为。

40

设点A为坐标原点$(0,0)$，点B坐标为$(2,0)$，设点C坐标为$(x,y)$，由$AC=4$得$x^2+y^2=16$。
根据正方形性质，正方形$ABEF$中，F点坐标为$(0,2)$；正方形$ACGD$中，D点坐标为$(y,-x)$。
计算$BC^2$：$BC^2=(x-2)^2+y^2=x^2-4x+4+y^2=16-4x+4=20-4x$。
计算$DF^2$：$DF^2=(y-0)^2+(-x-2)^2=y^2+x^2+4x+4=16+4x+4=20+4x$。
则$BC^2+DF^2=(20-4x)+(20+4x)=40$。