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三、解答题（共58分）
15. （8分）如图，在菱形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$上的点，且$BE = BF$。求证：$∠ DEF = ∠ DFE$。
15. （8分）如图，在菱形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$上的点，且$BE = BF$。求证：$∠ DEF = ∠ DFE$。
答案
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，BD=BD。
∵BE=BF，
在△BED和△BFD中，
$\{\begin{array}{l}BE=BF\\∠EBD=∠FBD\\BD=BD\end{array} $
∴△BED≌△BFD（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）。
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，BD=BD。
∵BE=BF，
在△BED和△BFD中，
$\{\begin{array}{l}BE=BF\\∠EBD=∠FBD\\BD=BD\end{array} $
∴△BED≌△BFD（SAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）。
16. （10分）如图，在菱形$ABCD$中，$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，垂足分别为$E$，$F$，连接$EF$。
（1）求证：$AE = AF$。
（2）若$∠ B = 60°$，求$∠ AEF$的度数。
（1）求证：$AE = AF$。
（2）若$∠ B = 60°$，求$∠ AEF$的度数。
答案
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠AFD\\∠B=∠D\\AB=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF。
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠BAD=180°-∠B=120°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=90°-∠B=30°，
同理可得∠DAF=30°，
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°，
由（1）知AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠AFD\\∠B=∠D\\AB=AD\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF。
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠BAD=180°-∠B=120°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=90°-∠B=30°，
同理可得∠DAF=30°，
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°，
由（1）知AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°。
17. （10分）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$是斜边上的中线，$BE// DC$交$AC$的延长线于点$E$。
（1）用直尺和圆规作$∠ ECM$，使得$∠ ECM = ∠ A$，且射线$CM$交$BE$于点$F$（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）求证：四边形$CDBF$是菱形。
（1）用直尺和圆规作$∠ ECM$，使得$∠ ECM = ∠ A$，且射线$CM$交$BE$于点$F$（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）求证：四边形$CDBF$是菱形。
答案
（1）作图痕迹如图所示：
（注：作图步骤：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于两点；②以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交CE于一点；③以该点为圆心，第一步中弧与AC、AB交点间的距离为半径画弧，交前弧于点M；④作射线CM，交BE于点F。）
（2）证明：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，
∴$CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB$，
∴$∠ A = ∠ ACD$。
∵$BE// DC$，
∴$∠ ACD = ∠ E$，
∴$∠ A = ∠ E$，
∴$AB = BE$。
∵$BC⊥ AE$，
∴$AC = CE$（等腰三角形三线合一）。
∵$∠ ECM = ∠ A$，
∴$CM// AB$（内错角相等，两直线平行）。
又∵$BE// DC$，
∴四边形$CDBF$是平行四边形。
∵$CD = BD$，
∴平行四边形$CDBF$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（注：作图步骤：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于两点；②以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交CE于一点；③以该点为圆心，第一步中弧与AC、AB交点间的距离为半径画弧，交前弧于点M；④作射线CM，交BE于点F。）
（2）证明：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$是斜边$AB$上的中线，
∴$CD = AD = BD = \frac{1}{2}AB$，
∴$∠ A = ∠ ACD$。
∵$BE// DC$，
∴$∠ ACD = ∠ E$，
∴$∠ A = ∠ E$，
∴$AB = BE$。
∵$BC⊥ AE$，
∴$AC = CE$（等腰三角形三线合一）。
∵$∠ ECM = ∠ A$，
∴$CM// AB$（内错角相等，两直线平行）。
又∵$BE// DC$，
∴四边形$CDBF$是平行四边形。
∵$CD = BD$，
∴平行四边形$CDBF$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
18. （10分）如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD = 6$，$BC = 16$，$E$是$BC$的中点。点$P$以每秒1个单位长度的速度从点$A$出发，沿$AD$向点$D$运动；同时点$Q$以每秒3个单位长度的速度从点$C$出发，沿$CB$向点$B$运动。点$Q$停止运动时，点$P$也随之停止运动。
（1）当运动时间$t$为多少秒时，$PQ$与$CD$平行？
（2）当运动时间$t$为多少秒时，以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形？
（1）当运动时间$t$为多少秒时，$PQ$与$CD$平行？
（2）当运动时间$t$为多少秒时，以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形？
答案
解：
（1）当$PQ // CD$时，四边形$PQCD$是平行四边形，
$\therefore PD = CQ$。
由题意得：$AP = t$，$CQ = 3t$，$PD = AD - AP = 6 - t$，
$\therefore 6 - t = 3t$，
解得$t = \frac{3}{2}$。
（2）$\because E$是$BC$的中点，$BC = 16$，
$\therefore BE = EC = 8$。
$\because AD // BC$，
$\therefore$当$PD = EQ$时，以$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形。
分两种情况：
①当点$Q$在$E$的右侧时，$EQ = EC - CQ = 8 - 3t$，
$\therefore 6 - t = 8 - 3t$，
解得$t = 1$；
②当点$Q$在$E$的左侧时，$EQ = CQ - EC = 3t - 8$，
$\therefore 6 - t = 3t - 8$，
解得$t = \frac{7}{2}$。
又$\because$点$Q$运动到$B$时停止，$t$最大为$\frac{16}{3}$，$\frac{7}{2} ＜ \frac{16}{3}$，符合题意。
答：（1）当$t = \frac{3}{2}$秒时，$PQ$与$CD$平行；
（2）当$t = 1$秒或$t = \frac{7}{2}$秒时，以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形。
（1）当$PQ // CD$时，四边形$PQCD$是平行四边形，
$\therefore PD = CQ$。
由题意得：$AP = t$，$CQ = 3t$，$PD = AD - AP = 6 - t$，
$\therefore 6 - t = 3t$，
解得$t = \frac{3}{2}$。
（2）$\because E$是$BC$的中点，$BC = 16$，
$\therefore BE = EC = 8$。
$\because AD // BC$，
$\therefore$当$PD = EQ$时，以$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形。
分两种情况：
①当点$Q$在$E$的右侧时，$EQ = EC - CQ = 8 - 3t$，
$\therefore 6 - t = 8 - 3t$，
解得$t = 1$；
②当点$Q$在$E$的左侧时，$EQ = CQ - EC = 3t - 8$，
$\therefore 6 - t = 3t - 8$，
解得$t = \frac{7}{2}$。
又$\because$点$Q$运动到$B$时停止，$t$最大为$\frac{16}{3}$，$\frac{7}{2} ＜ \frac{16}{3}$，符合题意。
答：（1）当$t = \frac{3}{2}$秒时，$PQ$与$CD$平行；
（2）当$t = 1$秒或$t = \frac{7}{2}$秒时，以点$P$，$Q$，$E$，$D$为顶点的四边形是平行四边形。
