19. （10分）（1）如图①，四边形$ABCD$是平行四边形，$G$，$H$是对角线$AC$的三等分点。求证：四边形$BHDG$是平行四边形。
（2）如图②，四边形$ABCD$中，$G$，$H$是对角线$AC$的三等分点，延长$DG$，$DH$，分别与$AB$，$BC$交于点$E$，$F$。$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点。求证：四边形$ABCD$是平行四边形。

（1）证明：
连接$BD$，交$AC$于点$O$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$OB=OD$。
∵$G$，$H$是$AC$的三等分点，
∴$AG=CH$。
∴$OA - AG = OC - CH$，即$OG=OH$。
又∵$OB=OD$，
∴四边形$BHDG$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
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（2）证明：
连接$BG$，$BH$，设$BD$与$AC$交于点$O$。
∵$E$是$AB$的中点，$AG=GH$，
∴$EG$是$△ ABH$的中位线，
∴$EG// BH$，即$DE// BH$。
∵$F$是$BC$的中点，$GH=HC$，
∴$FH$是$△ BCG$的中位线，
∴$FH// BG$，即$DF// BG$。
∴四边形$BHDG$是平行四边形，
∴$OB=OD$，$OG=OH$。
∵$AG=CH$，
∴$AG + OG = CH + OH$，即$OA=OC$。
又∵$OB=OD$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

20. （10分）某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，在正方形$ABCD$中，$AB = 6$，将三角尺放在正方形$ABCD$上，使三角尺的直角顶点与点$D$重合。三角尺的一边交$AB$于点$P$，另一边交$BC$的延长线于点$Q$。
（1）求证：$DP = DQ$。
（2）如图②，小明在图①的基础上作$∠ PDQ$的平分线$DE$，交$BC$于点$E$，连接$PE$，他发现$PE$与$QE$存在一定的数量关系，请写出他的结论并予以证明。
（3）如图③，固定三角尺的直角顶点$D$不动，转动三角尺，使三角尺的一边交$AB$的延长线于点$P$，另一边交$BC$的延长线于点$Q$，作$∠ PDQ$的平分线$DE$，交$BC$的延长线于点$E$，连接$PE$。若$AB:AP = 3:4$，求$△ DEP$的面积。

（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCQ=∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠PDC=90°，
∵∠PDQ=90°，
∴∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DCQ\\AD=DC\\∠ADP=∠CDQ\end{array} $
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP=DQ。
（2）结论：$PE=QE$。
证明：
∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠QDE，
在△DPE和△DQE中，
$\{\begin{array}{l}DP=DQ\\∠PDE=∠QDE\\DE=DE\end{array} $
∴△DPE≌△DQE（SAS），
∴PE=QE。
（3）解：
∵AB=6，$AB:AP=3:4$，
∴AP=8，$BP=AP-AB=8-6=2$，
由（1）知△ADP≌△CDQ，
∴CQ=AP=8，DQ=DP，
在Rt△ADP中，$DP=\sqrt{AD^2+AP^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由（2）知△DPE≌△DQE，
∴PE=QE，
设CE=x，则$QE=CQ-CE=8-x$，$BE=BC+CE=6+x$，
在Rt△BPE中，$PE^2=BP^2+BE^2$，
∴$(8-x)^2=2^2+(6+x)^2$，
展开得：$64-16x+x^2=4+36+12x+x^2$，
整理得：$28x=24$，解得$x=\frac{6}{7}$，
∵△DPE≌△DQE，
∴$S_{△DEP}=S_{△DQE}=S_{△DCQ}-S_{△DCE}$，
$S_{△DCQ}=\frac{1}{2}×DC×CQ=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△DCE}=\frac{1}{2}×DC×CE=\frac{1}{2}×6×\frac{6}{7}=\frac{18}{7}$，
∴$S_{△DEP}=24-\frac{18}{7}=\frac{150}{7}$。
答：△DEP的面积为$\frac{150}{7}$。