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8. 对于数据 2,3,3,4,4,4,5,5,5,5，下列分组方式中，组内离差平方和最小的是()
A.第一组 2,3,3,4；第二组 4,4,5,5,5
B.第一组 2,3,3；第二组 4,4,4,5,5,5
C.第一组 2,3；第二组 3,4,4,4,5,5,5
D.第一组 2；第二组 3,3,4,4,4,5,5,5
A.第一组 2,3,3,4；第二组 4,4,5,5,5
B.第一组 2,3,3；第二组 4,4,4,5,5,5
C.第一组 2,3；第二组 3,4,4,4,5,5,5
D.第一组 2；第二组 3,3,4,4,4,5,5,5
答案
B
解析
分别计算各选项组内离差平方和：
选项A：
第一组(2,3,3,4)，平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(3-3)²+(3-3)²+(4-3)²=1+0+0+1=2；
第二组(4,4,5,5,5,5)，平均数=14/3，离差平方和=2×(4-14/3)²+4×(5-14/3)²=2×(4/9)+4×(1/9)=12/9=4/3≈1.333；
总离差平方和≈2+1.333=3.333。
选项B：
第一组(2,3,3)，平均数=8/3，离差平方和=(2-8/3)²+2×(3-8/3)²=4/9+2×1/9=6/9=2/3≈0.667；
第二组(4,4,4,5,5,5,5)，平均数=32/7，离差平方和=3×(4-32/7)²+4×(5-32/7)²=3×16/49+4×9/49=84/49=12/7≈1.714；
总离差平方和≈0.667+1.714=2.381。
选项C：
第一组(2,3)，平均数=2.5，离差平方和=(2-2.5)²+(3-2.5)²=0.25+0.25=0.5；
第二组(3,4,4,4,5,5,5,5)，平均数=35/8=4.375，离差平方和=(3-4.375)²+3×(4-4.375)²+4×(5-4.375)²=1.8906+0.4219+1.5625=3.875；
总离差平方和=0.5+3.875=4.375。
选项D：
第一组(2)，离差平方和=0；
第二组(3,3,4,4,4,5,5,5,5)，平均数=38/9≈4.222，离差平方和=2×(3-38/9)²+3×(4-38/9)²+4×(5-38/9)²≈2.988+0.148+2.420=5.556；
总离差平方和≈5.556。
比较得选项B总离差平方和最小。
选项A：
第一组(2,3,3,4)，平均数=3，离差平方和=(2-3)²+(3-3)²+(3-3)²+(4-3)²=1+0+0+1=2；
第二组(4,4,5,5,5,5)，平均数=14/3，离差平方和=2×(4-14/3)²+4×(5-14/3)²=2×(4/9)+4×(1/9)=12/9=4/3≈1.333；
总离差平方和≈2+1.333=3.333。
选项B：
第一组(2,3,3)，平均数=8/3，离差平方和=(2-8/3)²+2×(3-8/3)²=4/9+2×1/9=6/9=2/3≈0.667；
第二组(4,4,4,5,5,5,5)，平均数=32/7，离差平方和=3×(4-32/7)²+4×(5-32/7)²=3×16/49+4×9/49=84/49=12/7≈1.714；
总离差平方和≈0.667+1.714=2.381。
选项C：
第一组(2,3)，平均数=2.5，离差平方和=(2-2.5)²+(3-2.5)²=0.25+0.25=0.5；
第二组(3,4,4,4,5,5,5,5)，平均数=35/8=4.375，离差平方和=(3-4.375)²+3×(4-4.375)²+4×(5-4.375)²=1.8906+0.4219+1.5625=3.875；
总离差平方和=0.5+3.875=4.375。
选项D：
第一组(2)，离差平方和=0；
第二组(3,3,4,4,4,5,5,5,5)，平均数=38/9≈4.222，离差平方和=2×(3-38/9)²+3×(4-38/9)²+4×(5-38/9)²≈2.988+0.148+2.420=5.556；
总离差平方和≈5.556。
比较得选项B总离差平方和最小。
9. 小明在处理一组数据“12,12,28,35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在 30 至 40 之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的()
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
C
解析
设被污染数据为$x$，且$30 ≤ x ≤ 40$。
平均数：总和为$12+12+28+35+x=87+x$，随$x$变化，平均数变化，排除A。
众数：原数据中12出现2次，若$x=35$，则35也出现2次，众数变为12和35，受影响，排除B。
中位数：将数据排序，无论$x$在30-40间取何值，排序后第3个数均为28，中位数始终为28，不受影响。
方差：与平均数相关，平均数变化则方差变化，排除D。
平均数：总和为$12+12+28+35+x=87+x$，随$x$变化，平均数变化，排除A。
众数：原数据中12出现2次，若$x=35$，则35也出现2次，众数变为12和35，受影响，排除B。
中位数：将数据排序，无论$x$在30-40间取何值，排序后第3个数均为28，中位数始终为28，不受影响。
方差：与平均数相关，平均数变化则方差变化，排除D。
10. 下图为某地区 2025 年 2 月和 3 月的空气质量指数(AQI)箱线图。AQI 值越小，说明空气质量越好；AQI 值在 201~300，说明重度污染。下列说法错误的是()
A.该地区 2025 年 3 月有重度污染天气
B.该地区 2025 年 2 月的 AQI 值比 3 月集中
C.该地区 2025 年 3 月的 AQI 值比 2 月集中
D.从整体上看，该地区 2025 年 2 月的空气质量好于 3 月
A.该地区 2025 年 3 月有重度污染天气
B.该地区 2025 年 2 月的 AQI 值比 3 月集中
C.该地区 2025 年 3 月的 AQI 值比 2 月集中
D.从整体上看，该地区 2025 年 2 月的空气质量好于 3 月
答案
C
解析
由图可知，3月AQI的值在重度污染（201~300）有数据分布，因此该地区2025年3月有重度污染天气，A正确。2月AQI的数据分布比3月AQI的数据分布更紧凑，因此2月的AQI值比3月集中，B正确，C错误。2月AQI值整体比3月低，因此2月的空气质量比3月好，D正确。
11. 一组数据 6,3,6,5,4 的众数是。
答案
在一组数据中，出现次数最多的数称为这组数据的众数。
在数据$6,3,6,5,4$中，数字$6$出现$2$次，数字$3$、$5$、$4$各出现$1$次。
所以这组数据的众数是$6$。
故答案为$6$。
在数据$6,3,6,5,4$中，数字$6$出现$2$次，数字$3$、$5$、$4$各出现$1$次。
所以这组数据的众数是$6$。
故答案为$6$。
12. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面。其中教学设计占 20%，现场教学展示占 80%。某参赛教师的教学设计的得分为 90 分，现场教学展示的得分为 95 分，则她的最后得分为分。
答案
根据加权平均数的计算公式，该教师的最后得分为：
$90 × 20\% + 95 × 80\%$
$= 18 + 76$
$= 94$（分）
故她的最后得分为$94$分。
$90 × 20\% + 95 × 80\%$
$= 18 + 76$
$= 94$（分）
故她的最后得分为$94$分。
13. 已知一组正整数 a，1，b，b，3 有唯一众数 8，中位数是 5，则这组数据的平均数为。
答案
1. 因数据有唯一众数8，且数据中b出现2次，故b=8（确保8出现次数最多且唯一）。
2. 数据为a，1，8，8，3，共5个数，中位数是第3个数，已知中位数为5，将数据从小到大排列后第3个数为5，故a=5（排列后为1，3，5，8，8）。
3. 平均数=(1+3+5+8+8)÷5=25÷5=5。
5
2. 数据为a，1，8，8，3，共5个数，中位数是第3个数，已知中位数为5，将数据从小到大排列后第3个数为5，故a=5（排列后为1，3，5，8，8）。
3. 平均数=(1+3+5+8+8)÷5=25÷5=5。
5
14. 某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差这 4 个统计量中，该鞋厂最关注的是。
答案
因为鞋厂主要关注哪种尺码的男鞋销量最高，以便于调整生产计划，在平均数、中位数、众数和方差这四个统计量中，众数反映的是数据中出现次数最多的数值。
在该鞋厂调查男鞋销量的情境下，众数最能代表最受欢迎的鞋尺码。
因此，该鞋厂最关注的是众数。
在该鞋厂调查男鞋销量的情境下，众数最能代表最受欢迎的鞋尺码。
因此，该鞋厂最关注的是众数。
