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15. 某 5 人学习小组在寒假期间进行线上测试，他们的成绩(单位:分)分别如下:86,88,90,92,94，方差为 $ s^{2}=8.0 $，后来老师发现每人都少加了 2 分。每人补加 2 分后，这 5 人新成绩的方差 $ s_{新}^{2}= $。
答案
本题可根据方差的性质来求解补加分数后的新成绩的方差。
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，方差为$s^{2}$，新数据$y_i = x_i + a$（$i = 1,2,3,4,5$，$a$为常数），新数据的平均数为$\overline{y}$，方差为$s_{新}^{2}$。
步骤一：求新数据的平均数$\overline{y}$与原数据平均数$\overline{x}$的关系
根据平均数的计算公式，原数据平均数$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5}$，新数据$y_i = x_i + 2$（$i = 1,2,3,4,5$），则新数据平均数$\overline{y}=\frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5}{5}=\frac{(x_1 + 2)+(x_2 + 2)+(x_3 + 2)+(x_4 + 2)+(x_5 + 2)}{5}=\frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)+10}{5}=\overline{x}+2$。
步骤二：求新数据的方差$s_{新}^{2}$与原数据方差$s^{2}$的关系
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ··· + (x_n - \overline{x})^2]$，可得新数据方差$s_{新}^{2}=\frac{1}{5}[(y_1 - \overline{y})^2 + (y_2 - \overline{y})^2 + (y_3 - \overline{y})^2 + (y_4 - \overline{y})^2 + (y_5 - \overline{y})^2]$。
将$y_i = x_i + 2$，$\overline{y}=\overline{x}+2$代入上式可得：
$s_{新}^{2}=\frac{1}{5}[(x_1 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_2 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_3 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_4 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_5 + 2 - (\overline{x}+2))^2]=\frac{1}{5}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + (x_3 - \overline{x})^2 + (x_4 - \overline{x})^2 + (x_5 - \overline{x})^2]=s^{2}$。
步骤三：得出新成绩的方差$s_{新}^{2}$
已知原成绩方差$s^{2}=8.0$，由上述关系可知$s_{新}^{2}=s^{2}=8.0$。
故答案为$8.0$。
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，方差为$s^{2}$，新数据$y_i = x_i + a$（$i = 1,2,3,4,5$，$a$为常数），新数据的平均数为$\overline{y}$，方差为$s_{新}^{2}$。
步骤一：求新数据的平均数$\overline{y}$与原数据平均数$\overline{x}$的关系
根据平均数的计算公式，原数据平均数$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5}$，新数据$y_i = x_i + 2$（$i = 1,2,3,4,5$），则新数据平均数$\overline{y}=\frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5}{5}=\frac{(x_1 + 2)+(x_2 + 2)+(x_3 + 2)+(x_4 + 2)+(x_5 + 2)}{5}=\frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)+10}{5}=\overline{x}+2$。
步骤二：求新数据的方差$s_{新}^{2}$与原数据方差$s^{2}$的关系
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + ··· + (x_n - \overline{x})^2]$，可得新数据方差$s_{新}^{2}=\frac{1}{5}[(y_1 - \overline{y})^2 + (y_2 - \overline{y})^2 + (y_3 - \overline{y})^2 + (y_4 - \overline{y})^2 + (y_5 - \overline{y})^2]$。
将$y_i = x_i + 2$，$\overline{y}=\overline{x}+2$代入上式可得：
$s_{新}^{2}=\frac{1}{5}[(x_1 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_2 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_3 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_4 + 2 - (\overline{x}+2))^2 + (x_5 + 2 - (\overline{x}+2))^2]=\frac{1}{5}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + (x_3 - \overline{x})^2 + (x_4 - \overline{x})^2 + (x_5 - \overline{x})^2]=s^{2}$。
步骤三：得出新成绩的方差$s_{新}^{2}$
已知原成绩方差$s^{2}=8.0$，由上述关系可知$s_{新}^{2}=s^{2}=8.0$。
故答案为$8.0$。
16. 王老师用手机软件记录了某月连续 16 天每天快走锻炼的步数(单位:万)，并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图。他这 16 天每天所走步数的中位数是，众数是。
答案
1. 由条形统计图可知，步数为0.8万的有5天，1万的有3天，1.2万的有8天，总天数为5+3+8=16天。
2. 将16天的步数按从小到大排列，第8天和第9天的步数为中位数。前5天为0.8万，接下来3天为1万，第8天和第9天均在1万的范围内，所以中位数为1万。
3. 1.2万出现的天数最多，为8天，所以众数为1.2万。
1万；1.2万
2. 将16天的步数按从小到大排列，第8天和第9天的步数为中位数。前5天为0.8万，接下来3天为1万，第8天和第9天均在1万的范围内，所以中位数为1万。
3. 1.2万出现的天数最多，为8天，所以众数为1.2万。
1万；1.2万
17. 为了解居民家庭用水情况，某校课外兴趣小组从某小区随机抽取了 30 户家庭，收集了这 30 户家庭去年 7 月的用水量，并对这 30 个数据进行整理，绘制了如下统计图表。
根据以上信息，回答下列问题。
(1)这 30 个数据的中位数落在组；(填“A”“B”“C”或“D”)
(2)求这 30 户家庭去年 7 月的总用水量；
(3)已知该小区有 1000 户家庭，若每户家庭今年 7 月的用水量都比去年 7 月各自家庭的用水量节约 10%，则这 1000 户家庭今年 7 月的总用水量比去年 7 月的总用水量节约多少立方米?
根据以上信息，回答下列问题。
(1)这 30 个数据的中位数落在组；(填“A”“B”“C”或“D”)
(2)求这 30 户家庭去年 7 月的总用水量；
(3)已知该小区有 1000 户家庭，若每户家庭今年 7 月的用水量都比去年 7 月各自家庭的用水量节约 10%，则这 1000 户家庭今年 7 月的总用水量比去年 7 月的总用水量节约多少立方米?
答案
(1) B
(2) $255 \, \mathrm{m}^3$
(3) $850 \, \mathrm{m}^3$
解析
(1) B
(2)
A组总用水量：$5.3 × 10 = 53 \, \mathrm{m}^3$
B组总用水量：$8.0 × 12 = 96 \, \mathrm{m}^3$
C组总用水量：$12.5 × 6 = 75 \, \mathrm{m}^3$
D组总用水量：$15.5 × 2 = 31 \, \mathrm{m}^3$
总用水量：$53 + 96 + 75 + 31 = 255 \, \mathrm{m}^3$
(3)
每户家庭节约用水量：
去年7月30户家庭平均用水量：$\frac{255}{30} = 8.5 \, \mathrm{m}^3$
每户家庭节约：$8.5 × 10\% = 0.85 \, \mathrm{m}^3$
1000户家庭总节约：$0.85 × 1000 = 850 \, \mathrm{m}^3$
最终
(2)
A组总用水量：$5.3 × 10 = 53 \, \mathrm{m}^3$
B组总用水量：$8.0 × 12 = 96 \, \mathrm{m}^3$
C组总用水量：$12.5 × 6 = 75 \, \mathrm{m}^3$
D组总用水量：$15.5 × 2 = 31 \, \mathrm{m}^3$
总用水量：$53 + 96 + 75 + 31 = 255 \, \mathrm{m}^3$
(3)
每户家庭节约用水量：
去年7月30户家庭平均用水量：$\frac{255}{30} = 8.5 \, \mathrm{m}^3$
每户家庭节约：$8.5 × 10\% = 0.85 \, \mathrm{m}^3$
1000户家庭总节约：$0.85 × 1000 = 850 \, \mathrm{m}^3$
最终
