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1. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分(单位:分,满分 100 分),其中控球技能占 60%，投球技能占 40%。已知选手李林控球技能得 90 分，投球技能得 80 分，则他的综合成绩为()
A.170 分
B.86 分
C.85 分
D.84 分
A.170 分
B.86 分
C.85 分
D.84 分
答案
B
解析
本题可根据加权平均数的计算公式来计算李林的综合成绩。
若$n个数中，x_1$的权为$w_1$，$x_2$的权为$w_2$，$···$，$x_n$的权为$w_n$，那么这$n$个数的加权平均数为$x = x_1w_1 + x_2w_2 + ··· + x_nw_n$（其中$w_1 + w_2 + ··· + w_n = 1$）。
已知控球技能占$60\%$，投球技能占$40\%$，李林控球技能得$90$分，投球技能得$80$分，将其代入上述公式可得：
$90×60\% + 80×40\% = 90×0.6 + 80×0.4 = 54 + 32 = 86$（分）
若$n个数中，x_1$的权为$w_1$，$x_2$的权为$w_2$，$···$，$x_n$的权为$w_n$，那么这$n$个数的加权平均数为$x = x_1w_1 + x_2w_2 + ··· + x_nw_n$（其中$w_1 + w_2 + ··· + w_n = 1$）。
已知控球技能占$60\%$，投球技能占$40\%$，李林控球技能得$90$分，投球技能得$80$分，将其代入上述公式可得：
$90×60\% + 80×40\% = 90×0.6 + 80×0.4 = 54 + 32 = 86$（分）
2. 在一次体育测试中，7 名女生仰卧起坐的成绩如下(单位:次/min):38,42,42,45,43,45,45，则这组数据的众数是()
A.38
B.42
C.43
D.45
A.38
B.42
C.43
D.45
答案
D
解析
众数是一组数据中出现次数最多的数据。在给定的数据$38$，$42$，$42$，$45$，$43$，$45$，$45$中，$38$出现$1$次，$42$出现$2$次，$43$出现$1$次，$45$出现$3$次，$45$出现的次数最多，所以众数是$45$。
3. 某市在一次空气污染指数抽查中，收集到 10 天的数据如下:61,75,70,56,81,91,92,91,75,81。这组数据的中位数是()
A.78
B.81
C.91
D.77.3
A.78
B.81
C.91
D.77.3
答案
A
解析
将数据从小到大排序：56, 61, 70, 75, 75, 81, 81, 91, 91, 92。
数据个数为10，中位数为第5和第6个数的平均数，即(75+81)/2=78。
数据个数为10，中位数为第5和第6个数的平均数，即(75+81)/2=78。
4. 经调查，八年级(1)班 7 名同学每周阅读时间(单位:min)分别为 78,80,85,90,79,82,83，则这组数据的下四分位数为()
A.80
B.82
C.85
D.79
A.80
B.82
C.85
D.79
答案
D
解析
将数据从小到大排序：78,79,80,82,83,85,90。n=7，下四分位数位置=7×25%=1.75，向上取整为2，第2个数据是79。
5. 若一组数据 1，x，5，7 有唯一众数，且中位数是 6，则这组数据的平均数是()
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
已知数据1，x，5，7，共4个数，中位数是中间两数的平均数，即第2和第3个数的平均数为6，故两数之和为12。
排序后分析：
若x≤5，中间两数为x和5，x+5=12→x=7（矛盾，7＞5）；
若5＜x≤7，中间两数为5和x，5+x=12→x=7，此时数据为1，5，7，7；
若x＞7，中间两数为5和7，平均数为6，但数据各数不同，无众数，不符合“唯一众数”。
唯一符合条件的是x=7，数据为1，5，7，7。众数为7（唯一），中位数为6。
平均数=(1+5+7+7)/4=20/4=5。
排序后分析：
若x≤5，中间两数为x和5，x+5=12→x=7（矛盾，7＞5）；
若5＜x≤7，中间两数为5和x，5+x=12→x=7，此时数据为1，5，7，7；
若x＞7，中间两数为5和7，平均数为6，但数据各数不同，无众数，不符合“唯一众数”。
唯一符合条件的是x=7，数据为1，5，7，7。众数为7（唯一），中位数为6。
平均数=(1+5+7+7)/4=20/4=5。
6. 某排球队 6 名场上队员的身高(单位:cm)分别是 180,184,188,190,192,194。现用一名身高为 186 cm 的队员换下场上身高为 192 cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高()
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
答案
A
解析
原数据平均数为：(180+184+188+190+192+194)÷6=1128÷6=188，
方差为：$S^2=\frac{1}{6}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{1}{6}×(64+16+0+4+16+36)=\frac{136}{6}\approx22.67$；
换人后数据平均数为：(180+184+188+190+186+194)÷6=1122÷6=187，
方差为：$S^2=\frac{1}{6}×[(180-187)^2+(184-187)^2+(188-187)^2+(190-187)^2+(186-187)^2+(194-187)^2]=\frac{1}{6}×(49+9+1+9+1+49)=\frac{118}{6}\approx19.67$。
比较可得平均数变小，方差变小。
方差为：$S^2=\frac{1}{6}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{1}{6}×(64+16+0+4+16+36)=\frac{136}{6}\approx22.67$；
换人后数据平均数为：(180+184+188+190+186+194)÷6=1122÷6=187，
方差为：$S^2=\frac{1}{6}×[(180-187)^2+(184-187)^2+(188-187)^2+(190-187)^2+(186-187)^2+(194-187)^2]=\frac{1}{6}×(49+9+1+9+1+49)=\frac{118}{6}\approx19.67$。
比较可得平均数变小，方差变小。
7. 有一组数据:1,2,2,3。若添加一个数据 2，则发生变化的统计量是()
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
D
解析
对于原数据：1，2，2，3，平均数=$(1 + 2 + 2 + 3) ÷ 4 = 2$，中位数为 2，众数为 2，
方差$ = \frac{1}{4}× [ (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2 ] = \frac{1}{4} × (1 + 0 + 0 + 1) = \frac{1}{2} $，
对于新数据：1，2，2，2，3，平均数=$ (1 + 2 + 2 + 2 + 3) ÷ 5 = 2$，中位数为 2，众数为 2，
方差 $= \frac{1}{5} × [ (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2 ] = \frac{1}{5} × (1 + 0 + 0 + 0 + 1) = \frac{2}{5} $，
因此，发生变化的统计量是方差。
方差$ = \frac{1}{4}× [ (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2 ] = \frac{1}{4} × (1 + 0 + 0 + 1) = \frac{1}{2} $，
对于新数据：1，2，2，2，3，平均数=$ (1 + 2 + 2 + 2 + 3) ÷ 5 = 2$，中位数为 2，众数为 2，
方差 $= \frac{1}{5} × [ (1 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - 2)^2 ] = \frac{1}{5} × (1 + 0 + 0 + 0 + 1) = \frac{2}{5} $，
因此，发生变化的统计量是方差。
