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1. 数据 6，8，10，7，9 的方差是(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. A
解析
【解析】
1. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{6+8+10+7+9}{5} = 8$
2. 计算每个数据与平均数的差的平方：
$(6-8)^2=4$，$(8-8)^2=0$，$(10-8)^2=4$，$(7-8)^2=1$，$(9-8)^2=1$
3. 计算方差：
$s^2 = \frac{4+0+4+1+1}{5} = 2$
【答案】
A
【知识点】
方差的计算
【点评】
本题考查方差的基本计算，解题关键是掌握方差的计算公式，需先求出平均数再逐步计算方差，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{6+8+10+7+9}{5} = 8$
2. 计算每个数据与平均数的差的平方：
$(6-8)^2=4$，$(8-8)^2=0$，$(10-8)^2=4$，$(7-8)^2=1$，$(9-8)^2=1$
3. 计算方差：
$s^2 = \frac{4+0+4+1+1}{5} = 2$
【答案】
A
【知识点】
方差的计算
【点评】
本题考查方差的基本计算，解题关键是掌握方差的计算公式，需先求出平均数再逐步计算方差，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙、丁四名学生参加立定跳远训练，他们近期 5 次训练的平均成绩相同，设甲、乙、丙、丁这 5 次训练成绩的方差分别是 $ s_甲^2 $，$ s_乙^2 $，$ s_丙^2 $，$ s_丁^2 $，且 $ s_甲^2=2.1 $，$ s_乙^2=3.5 $，$ s_丙^2=5.6 $，$ s_丁^2=0.9 $，则四名学生中这 5 次训练成绩最稳定的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2. D
解析
【解析】
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
已知$ s_甲^2=2.1 $，$ s_乙^2=3.5 $，$ s_丙^2=5.6 $，$ s_丁^2=0.9 $，比较可得：$ 0.9＜2.1＜3.5＜5.6 $，即$ s_丁^2 ＜ s_甲^2 ＜ s_乙^2 ＜ s_丙^2 $，因此丁的成绩最稳定。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，关键是掌握“方差越小，数据稳定性越好”的结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。
已知$ s_甲^2=2.1 $，$ s_乙^2=3.5 $，$ s_丙^2=5.6 $，$ s_丁^2=0.9 $，比较可得：$ 0.9＜2.1＜3.5＜5.6 $，即$ s_丁^2 ＜ s_甲^2 ＜ s_乙^2 ＜ s_丙^2 $，因此丁的成绩最稳定。
【答案】
D
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题考查方差的实际应用，关键是掌握“方差越小，数据稳定性越好”的结论，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 在一场篮球赛中，某队 5 名场上队员的身高(单位：cm)分别是：187，188，192，193，194。因身高为 194 cm 的队员受伤，教练让身高为 190 cm 的队员替补上场。则换人前后场上队员的身高对比，(
A.平均数变小，方差变大
B.平均数变小，方差变小
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
B
)A.平均数变小，方差变大
B.平均数变小，方差变小
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
答案
3. B
解析
【解析】
1. 计算换人前后的平均数：
换人前平均数：$\bar{x}_1=\frac{187+188+192+193+194}{5}=\frac{954}{5}=190.8$（cm）
换人后平均数：$\bar{x}_2=\frac{187+188+192+193+190}{5}=\frac{950}{5}=190$（cm）
可见平均数变小。
2. 计算换人前后的方差：
换人前方差：
$s_1^2=\frac{1}{5}[(187-190.8)^2+(188-190.8)^2+(192-190.8)^2+(193-190.8)^2+(194-190.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[14.44+7.84+1.44+4.84+10.24]=\frac{38.8}{5}=7.76$
换人后方差：
$s_2^2=\frac{1}{5}[(187-190)^2+(188-190)^2+(192-190)^2+(193-190)^2+(190-190)^2]$
$=\frac{1}{5}[9+4+4+9+0]=\frac{26}{5}=5.2$
可见方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的实际应用，需熟练掌握两者的计算公式，通过计算换人前后的数值对比得出结论。
【难度系数】
0.6
1. 计算换人前后的平均数：
换人前平均数：$\bar{x}_1=\frac{187+188+192+193+194}{5}=\frac{954}{5}=190.8$（cm）
换人后平均数：$\bar{x}_2=\frac{187+188+192+193+190}{5}=\frac{950}{5}=190$（cm）
可见平均数变小。
2. 计算换人前后的方差：
换人前方差：
$s_1^2=\frac{1}{5}[(187-190.8)^2+(188-190.8)^2+(192-190.8)^2+(193-190.8)^2+(194-190.8)^2]$
$=\frac{1}{5}[14.44+7.84+1.44+4.84+10.24]=\frac{38.8}{5}=7.76$
换人后方差：
$s_2^2=\frac{1}{5}[(187-190)^2+(188-190)^2+(192-190)^2+(193-190)^2+(190-190)^2]$
$=\frac{1}{5}[9+4+4+9+0]=\frac{26}{5}=5.2$
可见方差变小。
综上，平均数变小，方差变小，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题考查平均数和方差的实际应用，需熟练掌握两者的计算公式，通过计算换人前后的数值对比得出结论。
【难度系数】
0.6
4. 数据 8，7.5，9.5，8.5，8.5，9 的离差平方和为
2.5
。答案
4. 2.5
解析
【解析】
1. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6}=\frac{51}{6}=8.5$
2. 计算每个数据与平均数的离差平方：
$(8-8.5)^2=0.25$，$(7.5-8.5)^2=1$，$(9.5-8.5)^2=1$，$(8.5-8.5)^2=0$，$(8.5-8.5)^2=0$，$(9-8.5)^2=0.25$
3. 求和得到离差平方和：
$0.25+1+1+0+0+0.25=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
离差平方和计算
【点评】
本题考查离差平方和的计算，关键是先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方和，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
1. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9}{6}=\frac{51}{6}=8.5$
2. 计算每个数据与平均数的离差平方：
$(8-8.5)^2=0.25$，$(7.5-8.5)^2=1$，$(9.5-8.5)^2=1$，$(8.5-8.5)^2=0$，$(8.5-8.5)^2=0$，$(9-8.5)^2=0.25$
3. 求和得到离差平方和：
$0.25+1+1+0+0+0.25=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
离差平方和计算
【点评】
本题考查离差平方和的计算，关键是先求出数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方和，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
5. 已知样本 $ x_1,x_2,x_3 $ 的平均数是 10，方差是 3，则样本 $ x_1-1,x_2-1,x_3-1 $ 的平均数是
9
，方差是3
。答案
5. 9 3
解析
【解析】
1. 求新样本的平均数：
已知样本$x_1,x_2,x_3$的平均数为$10$，根据平均数的性质，若一组数据中每个数据都减去同一个常数$a$，则新数据的平均数为原平均数减去$a$。因此样本$x_1-1,x_2-1,x_3-1$的平均数为$10-1=9$。
2. 求新样本的方差：
方差反映数据的波动程度，当一组数据中每个数据都减去同一个常数时，数据的波动情况不发生改变，因此新样本的方差与原样本方差相同，即3。
【答案】
9；3
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，核心是理解数据平移对统计量的影响，属于基础概念题，需牢记相关性质。
【难度系数】
0.8
1. 求新样本的平均数：
已知样本$x_1,x_2,x_3$的平均数为$10$，根据平均数的性质，若一组数据中每个数据都减去同一个常数$a$，则新数据的平均数为原平均数减去$a$。因此样本$x_1-1,x_2-1,x_3-1$的平均数为$10-1=9$。
2. 求新样本的方差：
方差反映数据的波动程度，当一组数据中每个数据都减去同一个常数时，数据的波动情况不发生改变，因此新样本的方差与原样本方差相同，即3。
【答案】
9；3
【知识点】
平均数的性质、方差的性质
【点评】
本题考查平均数和方差的变化规律，核心是理解数据平移对统计量的影响，属于基础概念题，需牢记相关性质。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两名运动员参加射击训练（各射击 10 次），成绩分别绘制成统计图如图①②所示。
甲运动员射击训练成绩
乙运动员射击训练成绩
根据以上信息，整理分析数据如下表：
（1）写出表格中 $ a $，$ b $，$ c $ 的值。
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名运动员的射击训练成绩。若选派其中一名参赛，你认为应选哪名运动员？
甲运动员射击训练成绩
乙运动员射击训练成绩
根据以上信息，整理分析数据如下表：
（1）写出表格中 $ a $，$ b $，$ c $ 的值。
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名运动员的射击训练成绩。若选派其中一名参赛，你认为应选哪名运动员？
答案
6. 解：(1) $ a = 7 $，$ b = 7.5 $，$ c = 4.2 $.
(2) (答案不唯一，合理即可) 从平均数看，甲、乙二人的成绩相等，均为 7；从中位数看，甲射中 7 环以上的次数比乙少；从众数看，甲射中 7 环的次数最多，而乙射中 8 环的次数最多；从方差看，甲的成绩比乙的成绩稳定. 综合以上各因素，若选派一名运动员参加比赛，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大.
(2) (答案不唯一，合理即可) 从平均数看，甲、乙二人的成绩相等，均为 7；从中位数看，甲射中 7 环以上的次数比乙少；从众数看，甲射中 7 环的次数最多，而乙射中 8 环的次数最多；从方差看，甲的成绩比乙的成绩稳定. 综合以上各因素，若选派一名运动员参加比赛，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大.
解析
【解析】
(1) 甲运动员的成绩中7环出现次数最多，故众数$a=7$；将乙运动员的成绩从小到大排列为3,4,6,7,7,8,8,8,9,10，中间两个数为7和8，中位数$b=\frac{7+8}{2}=7.5$；根据方差计算可得乙运动员成绩的方差$c=4.2$。
(2) 从平均数、中位数、众数、方差四个统计量分别分析：平均数上甲、乙成绩相同；中位数上甲射中7环以上次数少于乙；众数上甲射中7环次数最多，乙射中8环次数最多；方差上甲的成绩更稳定。综合统计量分析参赛人选，合理即可。
【答案】
(1) $a = 7 $，$ b = 7.5 $，$ c = 4.2 $；
(2) 从平均数看，甲、乙二人的成绩相等，均为7；从中位数看，甲射中7环以上的次数比乙少；从众数看，甲射中7环的次数最多，而乙射中8环的次数最多；从方差看，甲的成绩比乙的成绩稳定。综合以上各因素，若选派一名运动员参加比赛，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
统计量的综合应用、方差的意义、中位数与众数
【点评】
本题考查平均数、中位数、众数、方差的概念及实际应用，需理解各统计量的意义，结合数据全面分析成绩，培养数据分析与决策能力。
【难度系数】
0.7
(1) 甲运动员的成绩中7环出现次数最多，故众数$a=7$；将乙运动员的成绩从小到大排列为3,4,6,7,7,8,8,8,9,10，中间两个数为7和8，中位数$b=\frac{7+8}{2}=7.5$；根据方差计算可得乙运动员成绩的方差$c=4.2$。
(2) 从平均数、中位数、众数、方差四个统计量分别分析：平均数上甲、乙成绩相同；中位数上甲射中7环以上次数少于乙；众数上甲射中7环次数最多，乙射中8环次数最多；方差上甲的成绩更稳定。综合统计量分析参赛人选，合理即可。
【答案】
(1) $a = 7 $，$ b = 7.5 $，$ c = 4.2 $；
(2) 从平均数看，甲、乙二人的成绩相等，均为7；从中位数看，甲射中7环以上的次数比乙少；从众数看，甲射中7环的次数最多，而乙射中8环的次数最多；从方差看，甲的成绩比乙的成绩稳定。综合以上各因素，若选派一名运动员参加比赛，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
统计量的综合应用、方差的意义、中位数与众数
【点评】
本题考查平均数、中位数、众数、方差的概念及实际应用，需理解各统计量的意义，结合数据全面分析成绩，培养数据分析与决策能力。
【难度系数】
0.7
