1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边长的平方是()

A.25
B.7
C.5 或 $\sqrt{7}$
D.7 或 25

D

本题可分两种情况讨论，即当已知两边为直角边和当较长边为斜边时，再根据勾股定理求出第三边长的平方。
情况一：当$3$和$4$为直角边时，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，可得第三边（斜边）长的平方为$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$。
情况二：当$4$为斜边，$3$为直角边时，根据勾股定理，另一直角边的平方等于斜边的平方减去已知直角边的平方，可得第三边长的平方为$4^{2}-3^{2}=16 - 9 = 7$。
综上，第三边长的平方是$7$或$25$。

2. 如图,在 $△ ABC$ 中,$AB = AC = 5$,$BC = 8$,$D$ 是线段 $BC$ 上的动点(不与端点 $B$,$C$ 重合),连接 $AD$.若线段 $AD$ 的长为整数,则符合条件的点 $D$ 的位置共有()

A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个

C

作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4。在Rt△ABE中，AE²=AB²-BE²=5²-4²=9，∴AE=3。AD的最小值为3（当D=E时），AD的取值范围是3≤AD＜5（D不与B、C重合）。AD为整数时，AD=3或4。AD=3时，D与E重合，1个点；AD=4时，在E两侧各有1个点（由勾股定理得DE=√(4²-3²)=√7），共2个点。综上，符合条件的点D共3个。

3. 如图,用四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是赵爽弦图.若图中勾 $a = 3$,弦 $c = 5$,则小正方形的面积为()

A.1
B.2
C.3
D.4

A

在直角三角形中，勾$a = 3$，弦$c = 5$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，可得股$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。小正方形的边长为$b - a = 4 - 3 = 1$，所以小正方形的面积为$1^2 = 1$。

4. 将一架长 $2.5$ m 的梯子斜立在一竖直的墙上,这时梯子的底端离墙 $0.7$ m.如果梯子的顶端沿墙下滑 $0.4$ m,那么梯子底端在水平方向上滑动()

A.$0.9$ m
B.$0.8$ m
C.$0.5$ m
D.$0.4$ m

B

设梯子与墙的原始接触点高度为$h$米，根据勾股定理，有：
$h^2 + 0.7^2 = 2.5^2$，
$h^2 = 2.5^2 - 0.7^2$
$h = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = 2.4$（$（m）$，
当梯子顶端沿墙下滑$0.4$m后，新的高度为：
$h' = h - 0.4 = 2.4 - 0.4 = 2$（$m$），
设梯子底端新的水平位置为$x$米，根据勾股定理，有：
$2^2 + x^2 = 2.5^2$，
$x^2 = 2.5^2 - 2^2$
$x = \sqrt{2.5^2 - 2^2} = 1.5$（$m$），
梯子底端在水平方向上滑动的距离为：
$1.5 - 0.7 = 0.8$（$m$）。

5. 如图,$AB ⊥ CD$ 于点 $B$,点 $E$ 在 $AB$ 上,连接 $AD$,$AC$,$EC$,$△ ABD$ 和 $△ BCE$ 都是等腰三角形.如果 $CD = 17$,$BE = 5$,那么 $AC$ 的长为()

A.12
B.7
C.5
D.13

D

∵AB⊥CD，∴∠ABD=∠EBC=90°。
△ABD是等腰三角形，∴AB=BD（直角边相等）。
△BCE是等腰三角形，∠EBC=90°，∴BE=BC（直角边相等）。
∵BE=5，∴BC=5。
∵CD=17，CD=BD+BC，∴BD=CD-BC=17-5=12，∴AB=BD=12。
在Rt△ABC中，AB=12，BC=5，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(12²+5²)=13。