6. 《九章算术》中给出了勾股数 $a$,$b$,$c$ 的计算公式:$a = \frac{1}{2}(m^{2} - n^{2})$,$b = mn$,$c = \frac{1}{2}(m^{2} + n^{2})$,其中 $m ＞ n ＞ 0$,$m$,$n$ 是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是()

A.3,4,5
B.5,12,13
C.6,8,10
D.7,24,25

C

对于选项A：取$m=3$，$n=1$（互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(3^2 - 1^2)=4$，$b=3×1=3$，$c=\frac{1}{2}(3^2 + 1^2)=5$，得勾股数3,4,5，可得出；
对于选项B：取$m=5$，$n=1$（互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(5^2 - 1^2)=12$，$b=5×1=5$，$c=\frac{1}{2}(5^2 + 1^2)=13$，得勾股数5,12,13，可得出；
对于选项C：公式中$b=mn$，$m,n$为互质奇数，故$b$为奇数，而6,8,10均为偶数，且尝试$m,n$无法满足公式，不能得出；
对于选项D：取$m=7$，$n=1$（互质奇数），则$a=\frac{1}{2}(7^2 - 1^2)=24$，$b=7×1=7$，$c=\frac{1}{2}(7^2 + 1^2)=25$，得勾股数7,24,25，可得出。

7. 将一副直角三角尺和一把宽度为 $2$ cm 的直尺按如图所示的方式摆放:先把 $60^{\circ}$ 角和 $45^{\circ}$ 角的顶点及它们的直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角尺的斜边分别交直尺上沿于 $A$,$B$ 两点,则 $AB$ 的长是()

A.$(2 - \sqrt{3})$cm
B.$(2\sqrt{3} - 2)$cm
C.$2$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm

B

设直尺下沿顶点为O，直尺上沿直线与重合直角边的垂足为C，则OC=2cm（直尺宽度）。
对于含45°角的三角尺：在Rt△OAC中，∠AOC=45°，tan45°=AC/OC，故AC=OC·tan45°=2×1=2cm。
对于含60°角的三角尺：在Rt△OBC中，∠BOC=60°，tan60°=BC/OC，故BC=OC·tan60°=2×√3=2√3 cm。
因A、B在C同侧，AB=BC-AC=2√3 - 2 cm。

8. 在 $△ ABC$ 中,一个内角为 $α$,另一个内角为 $β$,若满足 $α + 2β = 90^{\circ}$,则称这个三角形为“准直角三角形”.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 6$,$D$ 是边 $BC$ 上的一个动点,连接 $AD$.若 $△ ABD$ 是“准直角三角形”,则 $CD$ 的长是()

A.$\frac{12}{7}$
B.$\frac{24}{13}$
C.$\frac{8}{3}$
D.$\frac{13}{5}$

C

在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。设$CD=x$，则$BD=6 - x$。
“准直角三角形”定义：存在内角$α$、$β$满足$α + 2β=90°$。在$△ABD$中，分析内角关系：
若$∠B + 2∠BAD=90°$，则$∠BAD=\frac{90° - ∠B}{2}$，即$AD$平分$∠BAC$。
由角平分线定理：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$。
设$DC=x$，则$BD=6 - x$，故$\frac{6 - x}{x}=\frac{5}{4}$，解得$x=\frac{8}{3}$。

9. 若一个直角三角形两条直角边的长分别为 3 和 4,则这个直角三角形斜边上的高为.

设斜边长为$c$，斜边上的高为$h$。
根据勾股定理，直角三角形的斜边$c$满足：
$c = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，
直角三角形的面积可以用两条直角边来表示，即：
$S = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$，
同样，直角三角形的面积也可以用斜边和斜边上的高来表示，即：
$S = \frac{1}{2} × c × h = \frac{1}{2} × 5 × h$，
由于两种表示方法得到的面积必须相等，所以有：
$\frac{1}{2} × 5 × h = 6$，
解得：
$h = \frac{12}{5}$。
故答案为$\frac{12}{5}$（或 2.4）

10. 小红从家出发先向正北方向走 $80$ m,再向正东方向走 $150$ m,现在她离家的距离是 m.

$170$

解：设小红家为点$O$，向正北方向走$80m$到达点$A$，再向正东方向走$150m$到达点$B$。
则$OA = 80m$，$AB = 150m$，且$∠ OAB = 90^{\circ}$。
在$Rt△ OAB$中，根据勾股定理：$OB^2=OA^2 + AB^2$
$OB=\sqrt{OA^2 + AB^2}=\sqrt{80^2 + 150^2}=\sqrt{6400 + 22500}=\sqrt{28900}=170(m)$

11. 如图,在 $△ PCF$ 中,$PC = PF$,$∠ P = 30^{\circ}$,$B$ 为边 $PF$ 上的一点,且 $∠ BCP = 45^{\circ}$,$BC = 2\sqrt{2}$,则 $FB$ 的长为.

过点C作CE⊥PF于点E，设PE=x。
在Rt△PCE中，∠P=30°，则CE=PE·tan30°= $\frac{\sqrt{3}}{3}x$，PC= $\frac{PE}{\cos30°}=\frac{2x}{\sqrt{3}}$。
∠ECP=60°，∠BCP=45°，故∠BCE=∠ECP - ∠BCP=15°。
设EB=y，在Rt△CEB中，tan15°= $\frac{EB}{CE}=\frac{y}{\frac{\sqrt{3}}{3}x}$，即$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x·tan15°$。
tan15°=2 - $\sqrt{3}$，则$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x(2 - \sqrt{3})$。
由BC=2$\sqrt{2}$，CE² + EB²=BC²，得$(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^2 + y^2=(2\sqrt{2})^2$。
代入y化简得x²=6(2 + $\sqrt{3}$)，则x= $\sqrt{6(2 + \sqrt{3})}=\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)$（配方得$\sqrt{2(2 + \sqrt{3})}=\sqrt{3}+1$）。
PC=PF= $\frac{2x}{\sqrt{3}}=2(\sqrt{3}+1)$。
PB=PE - EB=x - y=2(\sqrt{3}+1) - (2$\sqrt{3}$-2)=4。
FB=PF - PB=2(\sqrt{3}+1) - 4=2$\sqrt{3}$-2。
2$\sqrt{3}$-2