20. (本小题 12 分)如图,在 $11×11$ 的网格中取 $A$,$B$,$C$,$D$ 4 个格点,使 $AB = BC = 2CD = 4$.$P$ 是线段 $BC$ 上的动点,连接 $AP$,$DP$.
(1) 设 $BP = a$,$CP = b$,用含字母 $a$,$b$ 的代数式分别表示线段 $AP$,$DP$ 的长.
(2) 设 $k = AP + DP$,$k$ 是否存在最小值? 若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由.

(1) 建立平面直角坐标系，设 $ B(0,0) $，则 $ C(4,0) $，$ A(0,4) $，$ D(4,2) $。
$ P $ 在线段 $ BC $ 上，$ BP = a $，则 $ P(a,0) $，$ CP = b = 4 - a $。
由勾股定理得：
$ AP = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{a^2 + 16} $，
$ DP = \sqrt{(a - 4)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{b^2 + 4} $（因为 $ b = 4 - a $）。
(2) 存在最小值。作 $ A $ 关于 $ BC $ 的对称点 $ A'(0,-4) $，连接 $ A'D $ 交 $ BC $ 于点 $ P $，此时 $ AP + DP = A'P + DP = A'D $ 最小。
$ A'(0,-4) $，$ D(4,2) $，由两点间距离公式得：
$ A'D = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $。
(1) $ AP = \sqrt{a^2 + 16} $，$ DP = \sqrt{b^2 + 4} $；
(2) 存在最小值，最小值为 $ 2\sqrt{13} $。