1. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 $ x^{2}-5x + 6 = 0 $ 的两个根，则此直角三角形的斜边长是()。

A.$ \sqrt{13} $
B.$ \sqrt{5} $
C.13
D.5

1.A

解方程$x^{2}-5x + 6 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x - 3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
设直角三角形的两条直角边分别为$a=2$，$b=3$，根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$。
A

2. 用一条长为 $ 30 \mathrm{~cm} $ 的绳子围成一个面积为 $ S(\mathrm{~cm}^{2}) $ 的长方形，$ S $ 的值不可能为()。

A.15
B.30
C.50
D.65

2.D

设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，则宽为$\frac{30-2x}{2}=(15 - x)\ \mathrm{cm}$，面积$S=x(15 - x)=-x^{2}+15x$。
对于二次函数$S=-x^{2}+15x$，其对称轴为$x=-\frac{15}{2×(-1)}=\frac{15}{2}$，当$x=\frac{15}{2}$时，$S$取得最大值，$S_{\mathrm{max}}=-(\frac{15}{2})^{2}+15×\frac{15}{2}=\frac{225}{4}=56.25\ \mathrm{cm}^{2}$。
因为$65＞56.25$，所以$S$的值不可能为$65$。
D

3. 如图，将一块正方形纸板剪去角上四个小正方形，将剩下的纸板做成一个无盖长方体纸盒。若剪去的四个小正方形的边长为 $ 6 \mathrm{~cm} $，纸盒的容积为 $ 384 \mathrm{~cm}^{3} $，则原正方形纸板的边长是多少厘米？

3.20

设原正方形纸板的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
剪去小正方形后，长方体纸盒的长和宽均为$(x - 2×6)\ \mathrm{cm}$，高为$6\ \mathrm{cm}$。
根据容积公式$V = 长×宽×高$，可得：
$(x - 12)^2×6 = 384$
$(x - 12)^2 = 64$
$x - 12 = \pm8$
解得$x = 20$或$x = 4$（边长不能为$4\ \mathrm{cm}$，舍去）。
原正方形纸板的边长是$20\ \mathrm{cm}$。
20

4. 已知直角三角形的三条边长为连续整数，求这个直角三角形的面积。

4.6

设这个直角三角形的三条边长分别为$n-1$，$n$，$n+1$（$n$为整数，且$n＞1$）。
根据勾股定理，得$(n-1)^2 + n^2 = (n+1)^2$。
展开得$n^2 - 2n + 1 + n^2 = n^2 + 2n + 1$，
化简得$n^2 - 4n = 0$，
解得$n(n - 4) = 0$，所以$n = 0$（舍去）或$n = 4$。
则三条边长分别为$3$，$4$，$5$。
面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
6