1. 同分母的分式相加减，分母，分子。
2. 异分母的分式相加减，先，变为的分式，然后再加减。

1. 不变；相加减；2. 通分；同分母

1. 根据同分母分式的加减法法则可知，同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
2. 根据异分母分式的加减法法则可知，异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

【典例1】计算$\frac{4}{x + 2}-\frac{x^{2}}{x + 2}$的结果是()

A.$2 - x$
B.$x - 2$
C.$\frac{1}{2 - x}$
D.$\frac{1}{x - 2}$
解析：原式$=\frac{4 - x^{2}}{x + 2}=-\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2}=-x + 2 = 2 - x$。

A

原式$=\frac{4 - x^{2}}{x + 2}=\frac{(2 - x)(2 + x)}{x + 2}=2 - x$。

【对点训练】
1. 化简$\frac{x}{xy}-\frac{x - y}{xy}$的结果是()

A.$\frac{2x - y}{xy}$
B.$-\frac{2x - y}{xy}$
C.$-\frac{1}{x}$
D.$\frac{1}{x}$

D

由于两个分式的分母相同，可以直接对分子进行加减运算，即：
$\frac{x}{xy} - \frac{x - y}{xy} $
$=\frac{x - (x - y)}{xy} $
$=\frac{x - x + y}{xy} $
$=\frac{y}{xy} $
$=\frac{1}{x}$

【典例2】化简：$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}$。
解析：$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}=\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{a + 1}{a - 1}=\frac{2}{a - 1}+\frac{a + 1}{a - 1}=\frac{a + 3}{a - 1}$。

$\frac{2a + 2}{a^{2}-1}-\frac{a + 1}{1 - a}$
$=\frac{2(a + 1)}{(a + 1)(a - 1)}+\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{2}{a - 1}+\frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{2 + a + 1}{a - 1}$
$=\frac{a + 3}{a - 1}$

【对点训练】
2. 化简$\frac{2}{x^{2}-2x}-\frac{1}{x - 2}$的结果是()

A.$-\frac{1}{x}$
B.$\frac{1}{x}$
C.$-\frac{1}{x - 2}$
D.$\frac{1}{x - 2}$

A

原式$\frac{2}{x^{2} - 2x} - \frac{1}{x - 2}$，
首先对分母进行因式分解，$x^{2} - 2x = x(x - 2)$，
所以原式可化为$\frac{2}{x(x - 2)} - \frac{1}{x - 2}$，
为了进行减法，需要找到两个分式的公共分母，即$x(x - 2)$。
于是，第二个分式可以写为$\frac{x}{x(x - 2)}$，
所以，原式$=\frac{2 - x}{x(x - 2)}$，
进一步化简，得到$= -\frac{x - 2}{x(x - 2)}$，
由于分子和分母都含有因子$x - 2$，所以可以约去这个公共因子（注意，$x ≠ 2$，否则分母为0，分式无意义），
得到$=-\frac{1}{x}$。

1. 计算$\frac{1}{a}-\frac{1 - a}{a}$的结果为()

A.$\frac{1}{a}$
B.$-\frac{1}{a}$
C.$1$
D.$-1$

C

原式$= \frac{1}{a} - \frac{1 - a}{a}$，
由于两个分式的分母相同，可以直接进行分子的加减运算，
$= \frac{1 - (1 - a)}{a}$
$= \frac{a}{a}$
$= 1$

2. 计算$\frac{m^{2}}{m - 1}-\frac{2m - 1}{m - 1}$的结果是()

A.$m + 1$
B.$m - 1$
C.$m - 2$
D.$-m - 2$

B

本题可根据同分母分式的减法法则来进行计算，再对结果进行化简。
步骤一：根据同分母分式的减法法则计算
同分母分式相减，分母不变，分子相减，用式子表示为$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a - b}{c}$（$c≠0$）。
在$\frac{m^{2}}{m - 1}-\frac{2m - 1}{m - 1}$中，$a = m^2$，$b = 2m - 1$，$c = m - 1$，代入上述法则可得：
$\frac{m^{2}}{m - 1}-\frac{2m - 1}{m - 1}=\frac{m^{2}-(2m - 1)}{m - 1}$
步骤二：去括号并化简分子
对分子$m^{2}-(2m - 1)$去括号，根据去括号法则：括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变，可得$m^{2}-(2m - 1)=m^{2}-2m + 1$。
此时原式变为$\frac{m^{2}-2m + 1}{m - 1}$。
步骤三：对分子进行因式分解
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，对$m^{2}-2m + 1$因式分解，其中$a = m$，$b = 1$，可得$m^{2}-2m + 1=(m - 1)^2$。
此时原式变为$\frac{(m - 1)^2}{m - 1}$。
步骤四：约分得出结果
因为$m - 1≠0$（分母不能为$0$），根据分式的基本性质，对$\frac{(m - 1)^2}{m - 1}$约分，可得$\frac{(m - 1)^2}{m - 1}=m - 1$。

3. 化简$\frac{1 - x}{x - 2}-\frac{1}{2 - x}$的结果是()

A.$\frac{x}{x - 2}$
B.$\frac{x}{2 - x}$
C.$1$
D.$-1$

D

本题可先将两个分式化为同分母分式，再进行分式的加减运算，最后对结果进行化简。
步骤一：将原式变形为同分母分式
观察到原式中两个分式的分母分别为$x - 2$和$2 - x$，因为$2 - x=-(x - 2)$，所以$\frac{1}{2 - x}=\frac{1}{-(x - 2)}=-\frac{1}{x - 2}$。
则原式$\frac{1 - x}{x - 2}-\frac{1}{2 - x}$可化为$\frac{1 - x}{x - 2}-(-\frac{1}{x - 2})$，即$\frac{1 - x}{x - 2}+\frac{1}{x - 2}$。
步骤二：进行同分母分式的加法运算
根据同分母分式的加法法则：同分母的分式相加，分母不变，分子相加。
可得$\frac{1 - x}{x - 2}+\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x + 1}{x - 2}=\frac{2 - x}{x - 2}$。
步骤三：对结果进行化简
因为$2 - x=-(x - 2)$，所以$\frac{2 - x}{x - 2}=\frac{-(x - 2)}{x - 2}=-1$。

4. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的运算结果正确的是()

A.$\frac{1}{a + b}$
B.$\frac{2}{a + b}$
C.$\frac{a + b}{ab}$
D.$a + b$

C

首先找到两个分式的最小公倍数公分母，即$ab$。然后将每个分式转换为以$ab$为分母的形式：$\frac{1}{a} = \frac{b}{ab}$，$\frac{1}{b} = \frac{a}{ab}$。
接着将这两个分式相加：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$。
因此，正确答案是C选项。

5. 计算$\frac{a + 1}{a + 2}+\frac{1}{a + 2}$的结果是。

$1$

本题可根据同分母分式的加法法则来进行计算。同分母分式相加，分母不变，分子相加减，即$\frac{a + 1}{a + 2}+\frac{1}{a + 2}=\frac{a + 1 + 1}{a + 2}=\frac{a + 2}{a + 2}=1$。

6. 计算$\frac{4a}{a^{2}-4}-\frac{2}{a + 2}$的结果是。

$\frac{2}{a-2}$

原式=$\frac{4a}{(a+2)(a-2)}-\frac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}$=$\frac{4a-2a+4}{(a+2)(a-2)}$=$\frac{2a+4}{(a+2)(a-2)}$=$\frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}$=$\frac{2}{a-2}$

7. 化简$\frac{a^{2}}{a - 1}-(a + 1)$的结果为。

$\frac{1}{a - 1}$（根据题目要求，此处应填结果，若题目为选择题再选对应选项，本题按非选择题给出答案）。

本题可先将后两项通分，化为同分母分式，再进行分式减法运算。
将$(a + 1)$化为分母为$a - 1$的分式形式，即$(a + 1)=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$，则原式可化为$\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$对上式进一步化简：
$\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1}=\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{a^{2}-1}{a - 1}=\frac{a^{2}-(a^{2}-1)}{a - 1}=\frac{a^{2}-a^{2}+1}{a - 1}=\frac{1}{a - 1}$。