【对点训练】
3. 化简$(-\frac{3y}{x})^{2}$的结果是()

A.$\frac{3y^{2}}{x^{2}}$
B.$\frac{9y^{2}}{x^{2}}$
C.$\frac{6y^{2}}{x^{2}}$
D.$-\frac{6y^{2}}{x^{2}}$

B

$(-\frac{3y}{x})^{2}=(-1)^2 · \frac{(3y)^2}{x^2}=1 · \frac{9y^2}{x^2}=\frac{9y^2}{x^2}$

1. 计算$-\frac{2a}{b}·\frac{b^{2}}{a}$的结果是()

A.$2$
B.$2b$
C.$-2b$
D.$-2ab^{2}$

C

根据分式的乘法法则，先将分子相乘，分母相乘，得$-\frac{2a· b^{2}}{b· a}$，再约分，$a$约去，$b$与$b^{2}$约去一个$b$，得到$-2b$。

2. 计算$\frac{2a}{a + 1}÷\frac{a}{a + 1}$的结果是()

A.$2$
B.$2a + 2$
C.$1$
D.$\frac{4a}{a + 1}$

A

本题可根据分式的除法运算法则将除法转化为乘法，再进行约分计算。
分式的除法运算法则为：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，即$\frac{2a}{a + 1}÷\frac{a}{a + 1}=\frac{2a}{a + 1}×\frac{a + 1}{a}$，然后约分可得结果为$2$。

3. 计算$(\frac{m}{3})^{2}·\frac{9}{m}$的结果是()

A.$m$
B.$m^{2}$
C.$m^{3}$
D.$3m$

A

首先计算 $(\frac{m}{3})^{2}$，得到 $\frac{m^2}{9}$。
然后将其与 $\frac{9}{m}$ 相乘，即：
$\frac{m^2}{9} · \frac{9}{m} = \frac{m^2 · 9}{9 · m} = \frac{m^2}{m} = m$

4. 计算$\frac{x^{2}}{y}÷(-\frac{y}{x})·\frac{y}{x}$的结果是()

A.$-y$
B.$-\frac{x^{2}}{y}$
C.$\frac{x}{y}$
D.$\frac{x^{2}}{y}$

B

首先将除法转化为乘法，即 $\frac{x^{2}}{y} ÷ (-\frac{y}{x}) · \frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{y} × (-\frac{x}{y}) × \frac{y}{x}$。
然后进行约分，$\frac{x^{2}}{y} × (-\frac{x}{y}) × \frac{y}{x} = -\frac{x^{2} · x · y}{y · y · x} = -\frac{x^{2}}{y}$。

5. 若$A = \frac{x}{x^{2}-9}$，$B = \frac{2x}{x - 3}$，则$A÷ B$的值可能为()

A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$0$

【解析】：$A÷B=\frac{x}{x^2 - 9}÷\frac{2x}{x - 3}=\frac{x}{(x + 3)(x - 3)}×\frac{x - 3}{2x}=\frac{1}{2(x + 3)}$，$x≠\pm3$且$x≠0$，$2(x + 3)$可能为$12$、$6$、$2$，对应值为$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{2}$，$0$不可能
【答案】：ABC

6. 化简$\frac{2}{x^{2}-1}÷\frac{1}{x - 1}$的结果是.

$\frac{2}{x + 1}$（或 填写为对应选项字母如题目为选择题，此处根据题目要求直接填结果形式）

首先将除法转换为乘法，即$\frac{2}{x^{2}-1} × \frac{x - 1}{1}$，
因$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$，
所以原式可化简为$\frac{2}{(x + 1)(x - 1)} × (x - 1) = \frac{2}{x + 1}$。

7. 计算：$\frac{2m}{3n}·(\frac{3n}{p})^{2}÷\frac{mn}{p^{2}}$.

答题卡：
原式$= \frac{2m}{3n} · \frac{9n^{2}}{p^{2}} ÷ \frac{mn}{p^{2}}$
$= \frac{2m}{3n} · \frac{9n^{2}}{p^{2}} · \frac{p^{2}}{mn}$
$= \frac{2m · 9n^{2} · p^{2}}{3n · p^{2} · mn}$
$= \frac{18mn^{2}p^{2}}{3mnp^{2}}$
$= 6$

8.（推理能力）在学习了分式的乘除之后，老师给出了这样一道题目：计算$(a + \frac{1}{a})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})·(a^{2} - 1)$，同学们都感到无从下手，聪明的小明将$a^{2}-1$变形为$a(a - \frac{1}{a})$，然后用平方差公式很轻松地得出了结论. 你知道他是怎样做的吗？

$\begin{aligned}&(a + \frac{1}{a})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})·(a^{2} - 1)\\=&(a + \frac{1}{a})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})·a(a - \frac{1}{a})\\=&a·(a - \frac{1}{a})(a + \frac{1}{a})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})\\=&a·(a^{2} - \frac{1}{a^{2}})(a^{2} + \frac{1}{a^{2}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})\\=&a·(a^{4} - \frac{1}{a^{4}})(a^{4} + \frac{1}{a^{4}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})\\=&a·(a^{8} - \frac{1}{a^{8}})(a^{8} + \frac{1}{a^{8}})\\=&a·(a^{16} - \frac{1}{a^{16}})\\=&a^{17} - \frac{1}{a^{15}}\end{aligned}$
结论：$a^{17} - \frac{1}{a^{15}}$