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8. 等式$\sqrt{(b - a)^{2}x}=(b - a)\sqrt{x}$成立的条件是 （ ）
A. $a\geqslant b,x\geqslant0$
B. $a\geqslant b,x\leqslant0$
C. $a\leqslant b,x\geqslant0$
D. $a\leqslant b,x\leqslant0$
A. $a\geqslant b,x\geqslant0$
B. $a\geqslant b,x\leqslant0$
C. $a\leqslant b,x\geqslant0$
D. $a\leqslant b,x\leqslant0$
答案
C
9. 化简二次根式$-\sqrt{8a^{3}}$的结果为 （ ）
A. $2a\sqrt{2a}$
B. $-2\sqrt{2a^{3}}$
C. $2a\sqrt{-2a}$
D. $-2a\sqrt{2a}$
A. $2a\sqrt{2a}$
B. $-2\sqrt{2a^{3}}$
C. $2a\sqrt{-2a}$
D. $-2a\sqrt{2a}$
答案
D
10. 化简：$\sqrt{-a^{3}}=$_______.
答案
$-a\sqrt{-a}$
11. （2023·海门月考）阅读理解：对于任意正整数$a,b$，$\because(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geqslant0$，$\therefore a - 2\sqrt{ab}+b\geqslant0$，$\therefore a + b\geqslant2\sqrt{ab}$，只有当$a = b$时，等号成立；结论：在$a + b\geqslant2\sqrt{ab}(a,b$均为正实数）中，只有当$a = b$时，$a + b$有最小值$2\sqrt{ab}$. 若$m＞1$，$\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m - 1}}$有最小值为_______.
答案
3
12. 计算：
（1）$\sqrt{5x^{2}-10x + 5}(x＜1)$； （2）$\sqrt{16x^{4}+32x^{2}}$；
（3）$2a^{3}b·\sqrt{a^{2}b}·3\sqrt{\frac{a}{b}}·\frac{1}{2}\sqrt{a}(a\geqslant0,b＞0)$； （4）$\frac{2}{y}\sqrt{xy^{5}}·(-\frac{3}{2}\sqrt{x^{3}y})·3\sqrt{\frac{x}{y^{5}}}(x＞0,y＞0)$.
（1）$\sqrt{5x^{2}-10x + 5}(x＜1)$； （2）$\sqrt{16x^{4}+32x^{2}}$；
（3）$2a^{3}b·\sqrt{a^{2}b}·3\sqrt{\frac{a}{b}}·\frac{1}{2}\sqrt{a}(a\geqslant0,b＞0)$； （4）$\frac{2}{y}\sqrt{xy^{5}}·(-\frac{3}{2}\sqrt{x^{3}y})·3\sqrt{\frac{x}{y^{5}}}(x＞0,y＞0)$.
答案
解：(1)原式$=\sqrt{5(x - 1)^{2}}=\sqrt{5}(1 - x)$.
(2)原式$=\sqrt{16x^{2}(x^{2}+2)}=4\sqrt{x^{2}+2}|x|$.
(3)原式$=2a^{3}b\cdot a\sqrt{b}\times3\times\frac{1}{b}\sqrt{ab}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{a}=3a^{4}\sqrt{a^{2}b^{2}}=3a^{5}b$.
(4)原式$=-\frac{9}{y}\sqrt{xy^{5}\cdot x^{3}y\cdot\frac{x}{y^{5}}}=-\frac{9}{y}\cdot\sqrt{x^{5}y}=-\frac{9x^{2}}{y}\sqrt{xy}$.
(2)原式$=\sqrt{16x^{2}(x^{2}+2)}=4\sqrt{x^{2}+2}|x|$.
(3)原式$=2a^{3}b\cdot a\sqrt{b}\times3\times\frac{1}{b}\sqrt{ab}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{a}=3a^{4}\sqrt{a^{2}b^{2}}=3a^{5}b$.
(4)原式$=-\frac{9}{y}\sqrt{xy^{5}\cdot x^{3}y\cdot\frac{x}{y^{5}}}=-\frac{9}{y}\cdot\sqrt{x^{5}y}=-\frac{9x^{2}}{y}\sqrt{xy}$.
13. 把根号外面的因式移到根号里面：
（1）$a\sqrt{a}$； （2）$a\sqrt{\frac{1}{a}}$； （3）$a\sqrt{-a}$；
（4）$-3\sqrt{3}$； （5）$-x\sqrt{-x}$； （6）$(2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}$.
（1）$a\sqrt{a}$； （2）$a\sqrt{\frac{1}{a}}$； （3）$a\sqrt{-a}$；
（4）$-3\sqrt{3}$； （5）$-x\sqrt{-x}$； （6）$(2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}$.
答案
解：(1)原式$=\sqrt{a^{2}\cdot a}=\sqrt{a^{3}}$.
(2)原式$=\sqrt{a^{2}\cdot\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$.
(3)原式$=-\sqrt{a^{2}\cdot(-a)}=-\sqrt{-a^{3}}$.
(4)原式$=-\sqrt{3^{2}\times3}=-\sqrt{27}$.
(5)原式$=\sqrt{(-x)^{2}\cdot(-x)}=\sqrt{-x^{3}}$.
(6)原式$=-(a - 2)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{(a - 2)^{2}\cdot\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{a - 2}$.
(2)原式$=\sqrt{a^{2}\cdot\frac{1}{a}}=\sqrt{a}$.
(3)原式$=-\sqrt{a^{2}\cdot(-a)}=-\sqrt{-a^{3}}$.
(4)原式$=-\sqrt{3^{2}\times3}=-\sqrt{27}$.
(5)原式$=\sqrt{(-x)^{2}\cdot(-x)}=\sqrt{-x^{3}}$.
(6)原式$=-(a - 2)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{(a - 2)^{2}\cdot\frac{1}{a - 2}}=-\sqrt{a - 2}$.
14. 观察下列各式：①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$；②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$……
（1）当$n\geqslant2$且$n$为正整数时，你发现了什么规律？用含有$n$的式子表示为______________；
（2）请用所学的数学知识证明你的结论.
（1）当$n\geqslant2$且$n$为正整数时，你发现了什么规律？用含有$n$的式子表示为______________；
（2）请用所学的数学知识证明你的结论.
答案
(1)$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
(2)证明：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)}{n^{2}-1}+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1 + 1)}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{2}\cdot n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$.
(2)证明：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)}{n^{2}-1}+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1 + 1)}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{2}\cdot n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$.
