17. （2024·牡丹江）如图，二次函数$y=\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$的图像与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$的坐标为$(0,-3)$，连接$BC$.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）$P$是抛物线在第四象限内的部分上的任意一点，当$\triangle BCP$的面积最大时，试求边$BC$上的高$PN$.

17. (1) 把 $ A(-1,0) $ 和 $ C(0,-3) $ 代入 $ y=\frac{1}{2}x^{2}+bx + c $，得 $ \begin{cases}\frac{1}{2}-b + c = 0 \\ c = - 3\end{cases} $，解得 $ \begin{cases}b = -\frac{5}{2} \\ c = - 3\end{cases} $，∴ 二次函数的表达式为 $ y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3 $ (2) 令 $ y = 0 $，则 $ 0=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{5}{2}x - 3 $，解得 $ x_{1}=-1 $，$ x_{2}=6 $。∴ 点 $ B $ 的坐标为 $ (6,0) $。∵ 点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-3) $，∴ $ BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{5} $。设直线 $ BC $ 对应的函数表达式为 $ y = mx + n(m\neq0) $。将 $ C(0,-3) $、$ B(6,0) $ 代入，得 $ \begin{cases}n = - 3 \\ 6m + n = 0\end{cases} $，解得 $ \begin{cases}m=\frac{1}{2} \\ n = - 3\end{cases} $，∴ 直线 $ BC $ 对应的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x - 3 $。如图，过点 $ P $ 作 $ PE\perp x $ 轴于点 $ E $，交 $ BC $ 于点 $ D $。设点 $ P $ 的坐标为 $ (t,\frac{1}{2}t^{2}-\frac{5}{2}t - 3)(0＜t＜6) $，则点 $ D $ 的坐标为 $ (t,\frac{1}{2}t - 3) $。∴ $ PD = y_{D}-y_{P}=\frac{1}{2}t - 3-(\frac{1}{2}t^{2}-\frac{5}{2}t - 3)=-\frac{1}{2}t^{2}+3t $。∴ $ S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}PD\cdot OB=\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2}t^{2}+3t)\times6=-\frac{3}{2}t^{2}+9t=-\frac{3}{2}(t - 3)^{2}+\frac{27}{2} $。∵ $ -\frac{3}{2}＜0 $，∴ 当 $ t = 3 $ 时，$ \triangle BCP $ 的面积最大，最大值为 $ \frac{27}{2} $，此时 $ PN=\frac{2S_{\triangle BCP}}{BC}=\frac{27}{3\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5} $

18. （2023·河南）小林不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点$A$、$C$在$x$轴上，球网$AB$与$y$轴的水平距离$OA = 3\ m$，$CA = 2\ m$，击球点$P$在$y$轴上. 若选择扣球，则羽毛球的飞行高度$y$（$m$）与水平距离$x$（$m$）之间近似满足一次函数关系$y = -0.4x + 2.8$；若选择吊球，则羽毛球的飞行高度$y$（$m$）与水平距离$x$（$m$）之间近似满足二次函数关系$y = a(x - 1)^{2}+3.2$.
（1）求点$P$的坐标和$a$的值.
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网. 要使球的落地点到点$C$的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.

18. (1) 根据题意，得 $ P $ 是直线 $ y = - 0.4x + 2.8 $ 与 $ y $ 轴的交点。当 $ x = 0 $ 时，$ y = 2.8 $。∴ 点 $ P $ 的坐标为 $ (0,2.8) $。把 $ P(0,2.8) $ 代入 $ y = a(x - 1)^{2}+3.2 $，得 $ a + 3.2 = 2.8 $，解得 $ a = - 0.4 $。∴ $ a $ 的值是 $ - 0.4 $ (2) ∵ $ OA = 3m $，$ CA = 2m $，∴ $ OC = 5m $。∴ $ C(5,0) $。若选择扣球，在 $ y = - 0.4x + 2.8 $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ x = 7 $，此时球的落地点到点 $ C $ 的距离为 $ 7 - 5 = 2(m) $；若选择吊球，在 $ y = - 0.4(x - 1)^{2}+3.2 $ 中，令 $ y = 0 $，得 $ x_{1}=-2\sqrt{2}+1 $（不合题意，舍去），$ x_{2}=2\sqrt{2}+1 $，此时球的落地点到点 $ C $ 的距离为 $ 5-(2\sqrt{2}+1)=4 - 2\sqrt{2}(m) $。∵ $ 2＞4 - 2\sqrt{2} $，∴ 应选择吊球