19. （2023·南充）某工厂计划从A、B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销$x$件. 已知A产品的成本为$m$元/件（$m$为常数，且$4\leqslant m\leqslant6$），售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日需支付专利费30元；B产品的成本为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日需支付专利费$y$元，$y$（元）与每日产销$x$（件）之间满足函数表达式$y = 80 + 0.01x^{2}$.
（1）若产销A、B两种产品的日利润分别为$w_{1}$元、$w_{2}$元，请分别写出$w_{1}$、$w_{2}$与$x$之间的函数表达式，并写出$x$的取值范围；
（2）分别求出产销A、B两种产品的最大日利润；
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？

19. (1) 根据题意，得 $ w_{1}=(8 - m)x - 30(0\leqslant x\leqslant500) $；$ w_{2}=(20 - 12)x-(80 + 0.01x^{2})=-0.01x^{2}+8x - 80(0\leqslant x\leqslant300) $ (2) ∵ 易知 $ 8 - m＞0 $，∴ $ w_{1} $ 随 $ x $ 的增大而增大。∵ $ 0\leqslant x\leqslant500 $，∴ 当 $ x = 500 $ 时，$ w_{1} $ 取得最大值，$ w_{1最大值}=-500m + 3970 $。∵ $ w_{2}=-0.01x^{2}+8x - 80=-0.01(x - 400)^{2}+1520 $，∴ $ - 0.01＜0 $，图像的对称轴为直线 $ x = 400 $。∴ 当 $ 0\leqslant x\leqslant300 $ 时，$ w_{2} $ 随 $ x $ 的增大而增大。∴ 当 $ x = 300 $ 时，$ w_{2} $ 取得最大值，$ w_{2最大值}=-0.01\times(300 - 400)^{2}+1520 = 1420 $ (3) ① 若 $ w_{1最大值}=w_{2最大值} $，即 $ - 500m + 3970 = 1420 $，解得 $ m = 5.1 $；② 若 $ w_{1最大值}＞w_{2最大值} $，即 $ - 500m + 3970＞1420 $，解得 $ m＜5.1 $；③ 若 $ w_{1最大值}＜w_{2最大值} $，即 $ - 500m + 3970＜1420 $，解得 $ m＞5.1 $。又 ∵ $ 4\leqslant m\leqslant6 $，∴ 为获得最大日利润：当 $ m = 5.1 $ 时，选择 $ A $ 或 $ B $ 产品产销均可；当 $ 4\leqslant m＜5.1 $ 时，选择 $ A $ 产品产销；当 $ 5.1＜m\leqslant6 $ 时，选择 $ B $ 产品产销

20. 如图，抛物线$y = ax^{2}+bx - 6$与$x$轴相交于$A$、$B$两点，与$y$轴相交于点$C$，$OA = 2$，$OB = 4$，直线$l$是抛物线的对称轴，在直线$l$右侧的抛物线上有一动点$D$，连接$AD$、$BD$、$BC$、$CD$.
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）若点$D$在$x$轴的下方，当$\triangle BCD$的面积是$\frac{9}{2}$时，求$\triangle ABD$的面积.
（3）在（2）的条件下，$M$是$x$轴上一点，$N$是抛物线上一点，是否存在点$N$，使得以$B$、$D$、$M$、$N$为顶点，以$BD$为边的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由.

20. (1) ∵ $ OA = 2 $，$ OB = 4 $，∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (4,0) $。把 $ A(-2,0) $、$ B(4,0) $ 代入 $ y = ax^{2}+bx - 6 $，得 $ \begin{cases}4a - 2b - 6 = 0 \\ 16a + 4b - 6 = 0\end{cases} $，解得 $ \begin{cases}a=\frac{3}{4} \\ b = -\frac{3}{2}\end{cases} $，∴ 抛物线对应的函数表达式为 $ y=\frac{3}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x - 6 $ (2) ∵ $ OA = 2 $，$ OB = 4 $，∴ $ AB = OA + OB = 6 $。如图，过点 $ D $ 作 $ DG\perp x $ 轴于点 $ G $，交 $ BC $ 于点 $ H $。在 $ y=\frac{3}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x - 6 $ 中，令 $ x = 0 $，得 $ y = - 6 $。∴ 点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-6) $。∴ 易知直线 $ BC $ 对应的函数表达式为 $ y=\frac{3}{2}x - 6 $。设点 $ D $ 的坐标为 $ (t,\frac{3}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t - 6) $，则点 $ H $ 的坐标为 $ (t,\frac{3}{2}t - 6) $。∴ $ DH=\frac{3}{2}t - 6-(\frac{3}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t - 6)=-\frac{3}{4}t^{2}+3t $。∵ $ \triangle BCD $ 的面积是 $ \frac{9}{2} $，∴ $ \frac{1}{2}DH\cdot OB=\frac{9}{2} $，即 $ \frac{1}{2}\cdot(-\frac{3}{4}t^{2}+3t)\times4=\frac{9}{2} $，解得 $ t = 1 $ 或 $ t = 3 $。∵ 点 $ D $ 在直线 $ l $ 右侧的抛物线上且在 $ x $ 轴的下方，∴ $ t = 3 $。∴ 点 $ D $ 的坐标为 $ (3,-\frac{15}{4}) $。∴ $ DG=\frac{15}{4} $。∴ $ S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DG=\frac{1}{2}\times6\times\frac{15}{4}=\frac{45}{4} $
(3) 存在 $ N_{1}(1-\sqrt{14},\frac{15}{4}) $、$ N_{2}(1+\sqrt{14},\frac{15}{4}) $、$ N_{3}(-1,-\frac{15}{4}) $ 解析：当点 $ N $ 在 $ x $ 轴的上方时，根据题意，得点 $ N $ 的纵坐标为 $ \frac{15}{4} $，将 $ y=\frac{15}{4} $ 代入 $ y=\frac{3}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x - 6 $，得点 $ N_{1} $、$ N_{2} $ 的横坐标；当点 $ N $ 在 $ x $ 轴的下方时，根据题意，得点 $ N $、$ D $ 的纵坐标相同，为 $ -\frac{15}{4} $，将 $ y = -\frac{15}{4} $ 代入 $ y=\frac{3}{4}x^{2}-\frac{3}{2}x - 6 $，得点 $ N_{3} $ 的横坐标。