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8. （1）二次函数$y = -3x^{2}-2$的最大值为_______；
（2）若二次函数$y = -x^{2}-2x + 7$的函数值为$-17$，则$x$的值为_______.
（2）若二次函数$y = -x^{2}-2x + 7$的函数值为$-17$，则$x$的值为_______.
答案
8. (1) $ - 2 $ (2) $ 4 $ 或 $ - 6 $
9. 如图，抛物线$y = ax^{2}$与直线$y = bx + c$的两个交点的坐标分别为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^{2}=bx + c$的解为___________.
答案
9. $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=1 $
10. 如图，将函数$y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+1$的图像沿$y$轴向上平移得到一个新函数图像，其中点$A(1,m)$、$B(4,n)$平移后的对应点分别为$A'$、$B'$. 若曲线段$AB$扫过的面积为9（图中阴影部分），则新图像对应的函数表达式为___________.
答案
10. $ y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+4 $
11. （2024·上海）若一个抛物线$y = a(x - m)^{2}+k$（$a\neq0$）上存在一点$P(x',y')$，使得$x'-m=y'-k\neq0$，则称$2|x'-m|$为该抛物线的“开口大小”. 抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x + 3$的“开口大小”为_______.
答案
11. 4 解析：∵ $ y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x + 3 = -\frac{1}{2}(x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{55}{18} $，∴ $ y' = -\frac{1}{2}(x'-\frac{1}{3})^{2}+\frac{55}{18} $。根据题意，得 $ x'-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(x'-\frac{1}{3})^{2}+\frac{55}{18}-\frac{55}{18} $。∴ $ x'-\frac{1}{3}=-2 $。∴ 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x + 3 $ 的 “开口大小” 为 $ 2\left|x'-\frac{1}{3}\right|=2\times|-2| = 4 $。
12. （2024·连云港）已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a$、$b$、$c$是常数，$a＜0$）的顶点坐标为$(1,2)$. 小烨同学得出下列结论：① $abc＜0$；② 当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；③ 若关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的一个根为$x = 3$，则$a = -\frac{1}{2}$；④ 抛物线$y = ax^{2}+2$是由抛物线$y = ax^{2}+bx + c$先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的. 其中，一定正确的是_______（填序号）.
答案
12. ②③
13. 二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的图像如图所示. 若线段$AB$在$x$轴上，且$AB$的长为$2\sqrt{3}$，以$AB$为边作等边三角形$ABC$，使点$C$落在该函数$y$轴右侧的图像上，则点$C$的坐标为___________.
答案
13. $ (1+\sqrt{7},3) $ 或 $ (2,-3) $
14. （2024·新疆）如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-4x + 6$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$B$，线段$CD$在抛物线的对称轴上移动（点$C$在点$D$的下方），且$CD = 3$. 当$AD + BC$的值最小时，点$C$的坐标为_______.
答案
14. $ (4,1) $ 解析：由抛物线 $ y=\frac{1}{2}x^{2}-4x + 6 $，得 $ A(0,6) $、$ B(2,0) $，抛物线的对称轴为直线 $ x = 4 $。如图，作点 $ A $ 关于对称轴的对称点 $ A'(8,6) $，再将点 $ A' $ 向下平移 $ 3 $ 个单位长度，得到点 $ A''(8,3) $，连接 $ A''C $、$ A'D $，此时 $ AD + BC = A'D + BC = A''C + BC $。当 $ A'' $、$ C $、$ B $ 三点共线时，$ AD + BC $ 的值最小，$ C $ 为线段 $ A''B $ 与对称轴的交点。设直线 $ A''B $ 对应的函数表达式为 $ y = kx + b $。将点 $ A'' $、$ B $ 的坐标代入，得 $ y=\frac{1}{2}x - 1 $。令 $ x = 4 $，得 $ y = 1 $。∴ $ C(4,1) $。
15. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a$、$b$、$c$为常数）的部分图像如图所示，设$m = a - b + c$，则$m$的取值范围是_______.
答案
15. $ - 4＜m＜0 $ 解析：∵ 抛物线开口向上，∴ $ a＞0 $。∵ 抛物线的对称轴在 $ y $ 轴左侧，∴ $ -\frac{b}{2a}＜0 $。∴ $ b＞0 $。∵ 抛物线经过点 $ (0,-2) $，∴ $ c = - 2 $。∵ 抛物线经过点 $ (1,0) $，∴ $ a + b + c = 0 $。∴ $ a + b = 2 $，即 $ b = 2 - a $。∴ $ m = a - b + c = a-(2 - a)+(-2)=2a - 4 $。∵ $ b = 2 - a＞0 $，∴ $ 0＜a＜2 $。∴ $ - 4＜2a - 4＜0 $。∴ $ m $ 的取值范围是 $ - 4＜m＜0 $。
16. （2023·丽水）已知点$(-m,0)$、$(3m,0)$在二次函数$y = ax^{2}+bx + 3$（$a$、$b$是常数，$a\neq0$）的图像上. 求证：$b^{2}+4a = 0$.
答案
16. ∵ 抛物线 $ y = ax^{2}+bx + 3 $ 经过点 $ (-m,0) $、$ (3m,0) $，∴ 对称轴为直线 $ x = m $，即 $ -\frac{b}{2a}=m $。∴ $ b = - 2am $。把 $ (-m,0) $、$ (3m,0) $ 代入 $ y = ax^{2}+bx + 3 $，得 $ \begin{cases}am^{2}-bm + 3 = 0① \\ 9am^{2}+3bm + 3 = 0②\end{cases} $，由 ①×3 + ②，得 $ 12am^{2}+12 = 0 $。化简，得 $ am^{2}+1 = 0 $。∴ $ b^{2}+4a=(-2am)^{2}+4a = 4a^{2}m^{2}+4a = 4a(am^{2}+1)=4a\times0 = 0 $
