1. 抛物线$y = 2(x + 9)^{2}-3$的顶点坐标是（ ）
A. （9，-3）
B. （-9，-3）
C. （9，3）
D. （-9，3）

B

2. （2024·眉山）定义运算：$a\otimes b=(a + 2b)(a - b)$，例如$4\otimes3=(4 + 2\times3)\times(4 - 3)$，则函数$y=(x + 1)\otimes2$的最小值为（ ）
A. -21
B. -9
C. -7
D. -5

B

3. （2023·扬州）已知二次函数$y = ax^{2}-2x+\frac{1}{2}$（$a$为常数，且$a＞0$）. 有下列结论：① 函数图像一定经过第一、二、四象限；② 函数图像一定不经过第三象限；③ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；④ 当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大. 其中，正确的是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ②
D. ③④

B

4. 一次函数$y = ax + b$与二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）

C

5. （2024·乐山）已知二次函数$y = x^{2}-2x$（$-1\leqslant x\leqslant t - 1$），当$x = -1$时，函数取得最大值；当$x = 1$时，函数取得最小值，则$t$的取值范围是（ ）
A. $0＜t\leqslant2$
B. $0＜t\leqslant4$
C. $2\leqslant t\leqslant4$
D. $t\geqslant2$

5. C 解析：∵ $ y = x^{2}-2x=(x - 1)^{2}-1 $，∴ 二次函数图像的对称轴为直线 $ x = 1 $，且顶点坐标为 $ (1,-1) $。∵ $ 1-(-1)=3 - 1 $，∴ 当 $ x = - 1 $ 和 $ x = 3 $ 时的函数值相等。∵ 当 $ x = - 1 $ 时，函数取得最大值，∴ $ t - 1\leqslant3 $，解得 $ t\leqslant4 $。又 ∵ 当 $ x = 1 $ 时，函数取得最小值，∴ $ t - 1\geqslant1 $，解得 $ t\geqslant2 $。∴ $ 2\leqslant t\leqslant4 $。

6. （2024·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）与$x$轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$两点，与$y$轴的交点$C$的纵坐标在$-3$和$-2$之间. 给出下列结论：① $abc^{2}＞0$；② $\frac{4}{3}＜b＜2$；③ 若$ax_{1}^{2}-bx_{1}=ax_{2}^{2}-bx_{2}$且$x_{1}\neq x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-2$；④ 直线$y = -\frac{5}{6}cx + c$与抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的一个交点坐标为$(m,n)$（$m\neq0$），则$m=\frac{1}{2}$. 其中，正确的是（ ）

A. ①②④
B. ①③④
C. ①②③
D. ①②③④

6. A 解析：把 $ A(-3,0) $、$ B(1,0) $ 代入 $ y = ax^{2}+bx + c $，解关于 $ a $、$ b $ 的方程组，得 $ b = 2a $，$ c = - 3a $，∴ $ abc^{2}=a\cdot2a\cdot(-3a)^{2}=18a^{4}＞0 $。故 ① 正确。∵ 点 $ C $ 的纵坐标在 $ - 3 $ 和 $ - 2 $ 之间，∴ $ - 3＜-3a＜-2 $，即 $ \frac{4}{3}＜2a＜2 $。∴ $ \frac{4}{3}＜b＜2 $。故 ② 正确。∵ $ ax_{1}^{2}-bx_{1}=ax_{2}^{2}-bx_{2} $，∴ $ ax_{1}^{2}-2ax_{1}=ax_{2}^{2}-2ax_{2} $，即 $ x_{1}^{2}-2x_{1}-x_{2}^{2}+2x_{2}=0 $。∴ $ (x_{1}+x_{2}-2)(x_{1}-x_{2})=0 $。又 ∵ $ x_{1}\neq x_{2} $，∴ $ x_{1}+x_{2}=2 $。故 ③ 错误。联立 $ \begin{cases}y = -\frac{5}{6}cx + c \\ y = ax^{2}+bx + c\end{cases} $ 得 $ -\frac{5}{6}cx + c = ax^{2}+bx + c $，∴ $ \frac{5}{2}ax - 3a = ax^{2}+2ax - 3a $，解得 $ x_{1}=0 $（不合题意，舍去），$ x_{2}=\frac{1}{2} $，即 $ m=\frac{1}{2} $。故 ④ 正确。综上所述，正确的是 ①②④。

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10\ cm$，$BC = 8\ cm$，点$P$从点$A$出发，沿$AC$向点$C$以$1\ cm/s$的速度运动，同时点$Q$从点$C$出发，沿$CB$向点$B$以$2\ cm/s$的速度运动（当点$Q$运动到点$B$时，点$P$、$Q$同时停止运动）. 在运动过程中，四边形$PABQ$的面积最小为（ ）

A. $19\ cm^{2}$
B. $16\ cm^{2}$
C. $15\ cm^{2}$
D. $12\ cm^{2}$

7. C