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1. 式子$\sqrt{a}$($a≥0$)既表示二次根式，又表示非负数$a$的算术平方根，所以$\sqrt{a}$具有双重非负性：
(1)
(2)
(1)
$ a ≥ 0 $
；(2)
$ \sqrt{a} ≥ 0 $
。答案
1. (1) $ a ≥ 0 $ (2) $ \sqrt{a} ≥ 0 $
解析
1. (1) $a ≥ 0$；(2) $\sqrt{a} ≥ 0$
2. (1)$(\sqrt{a})^{2}=$
$ a $
($a≥0$)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；答案
2. (1) $ a $
解析
(1) $a$
(2) $|a|$
(2) $|a|$
(2)$\sqrt{a^{2}}=$
$ |a| $
。答案
(2) $ |a| $
1. 计算$\sqrt{(2\frac{1}{3})^{2}}+\sqrt{(-2\frac{1}{3})^{2}}$的值是(
A.$0$
B.$\frac{2}{3}$
C.$4\frac{2}{3}$
D.以上都不对
C
)A.$0$
B.$\frac{2}{3}$
C.$4\frac{2}{3}$
D.以上都不对
答案
1. C
解析
$\sqrt{(2\frac{1}{3})^{2}}+\sqrt{(-2\frac{1}{3})^{2}}=2\frac{1}{3}+2\frac{1}{3}=4\frac{2}{3}$，答案选C。
2. 如果$\sqrt{(x - 1)^{2}} = x - 1$，那么$x$的取值范围是(
A.$x≥1$
B.$x＞1$
C.$x≤1$
D.$x＜1$
A
)A.$x≥1$
B.$x＞1$
C.$x≤1$
D.$x＜1$
答案
2. A
解析
因为$\sqrt{(x - 1)^{2}} = |x - 1|$，已知$\sqrt{(x - 1)^{2}} = x - 1$，所以$|x - 1| = x - 1$。根据绝对值的性质，当$a ≥ 0$时，$|a| = a$，因此$x - 1 ≥ 0$，解得$x ≥ 1$。
A
A
3. 当$x＞2$时，化简$\vert1+\sqrt{(x - 2)^{2}}\vert$的结果是(
A.$x - 1$
B.$1 - x$
C.$3 - x$
D.$x - 3$
A
)A.$x - 1$
B.$1 - x$
C.$3 - x$
D.$x - 3$
答案
3. A
解析
因为$x＞2$，所以$x - 2＞0$，则$\sqrt{(x - 2)^{2}} = x - 2$。
$\vert1+\sqrt{(x - 2)^{2}}\vert=\vert1 + x - 2\vert=\vert x - 1\vert$。
又因为$x＞2$，所以$x - 1＞0$，$\vert x - 1\vert=x - 1$。
A
$\vert1+\sqrt{(x - 2)^{2}}\vert=\vert1 + x - 2\vert=\vert x - 1\vert$。
又因为$x＞2$，所以$x - 1＞0$，$\vert x - 1\vert=x - 1$。
A
4. 方程$\vert4x - 8\vert+\sqrt{x - y - m}=0$，当$y＞0$时，$m$的取值范围是(
A.$0＜m＜1$
B.$m≥2$
C.$m＜2$
D.$m≤2$
C
)A.$0＜m＜1$
B.$m≥2$
C.$m＜2$
D.$m≤2$
答案
4. C
解析
因为$\vert4x - 8\vert≥0$，$\sqrt{x - y - m}≥0$，且$\vert4x - 8\vert+\sqrt{x - y - m}=0$，所以$\vert4x - 8\vert=0$，$\sqrt{x - y - m}=0$。
由$\vert4x - 8\vert=0$得$4x - 8=0$，解得$x = 2$。
由$\sqrt{x - y - m}=0$得$x - y - m=0$，将$x = 2$代入得$2 - y - m=0$，即$y=2 - m$。
因为$y＞0$，所以$2 - m＞0$，解得$m＜2$。
C
由$\vert4x - 8\vert=0$得$4x - 8=0$，解得$x = 2$。
由$\sqrt{x - y - m}=0$得$x - y - m=0$，将$x = 2$代入得$2 - y - m=0$，即$y=2 - m$。
因为$y＞0$，所以$2 - m＞0$，解得$m＜2$。
C
5. 用平方法比较下列实数的大小：$3\sqrt{6}\_\_\_\_\_\_5\sqrt{2}$，$-3\sqrt{2}\_\_\_\_\_\_-2\sqrt{3}$。
答案
5. $ ＞ $ $ ＜ $
解析
比较$3\sqrt{6}$与$5\sqrt{2}$：
$(3\sqrt{6})^{2}=9×6 = 54$，$(5\sqrt{2})^{2}=25×2 = 50$，因为$54＞50$，所以$3\sqrt{6}＞5\sqrt{2}$。
比较$-3\sqrt{2}$与$-2\sqrt{3}$：
$(-3\sqrt{2})^{2}=9×2 = 18$，$(-2\sqrt{3})^{2}=4×3 = 12$，因为$18＞12$，所以$-3\sqrt{2}＜-2\sqrt{3}$。
$＞$；$＜$
$(3\sqrt{6})^{2}=9×6 = 54$，$(5\sqrt{2})^{2}=25×2 = 50$，因为$54＞50$，所以$3\sqrt{6}＞5\sqrt{2}$。
比较$-3\sqrt{2}$与$-2\sqrt{3}$：
$(-3\sqrt{2})^{2}=9×2 = 18$，$(-2\sqrt{3})^{2}=4×3 = 12$，因为$18＞12$，所以$-3\sqrt{2}＜-2\sqrt{3}$。
$＞$；$＜$
6. 若$\sqrt{(x + 4)^{2}} = 4$，则$x$的值为
0或-8
。答案
6. 0或-8
解析
解：$\sqrt{(x + 4)^{2}} = 4$
$|x + 4| = 4$
当$x + 4 ≥ 0$时，$x + 4 = 4$，解得$x = 0$；
当$x + 4 ＜ 0$时，$-(x + 4) = 4$，解得$x = -8$。
$x$的值为$0$或$-8$。
$|x + 4| = 4$
当$x + 4 ≥ 0$时，$x + 4 = 4$，解得$x = 0$；
当$x + 4 ＜ 0$时，$-(x + 4) = 4$，解得$x = -8$。
$x$的值为$0$或$-8$。
7. 若$x$，$y$都是实数，且满足$y＜\sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}+\frac{1}{2}$，试化简$\frac{\vert1 - y\vert}{y - 1}$。
答案
7. -1
解析
要使$\sqrt{x - 1}$和$\sqrt{1 - x}$有意义，则$x - 1 ≥ 0$且$1 - x ≥ 0$，解得$x = 1$。
将$x = 1$代入$y ＜ \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}+\frac{1}{2}$，得$y ＜ 0 + 0+\frac{1}{2}$，即$y ＜ \frac{1}{2}$。
所以$1 - y ＞ 0$，则$\vert1 - y\vert = 1 - y$。
因此$\frac{\vert1 - y\vert}{y - 1}=\frac{1 - y}{y - 1}=-\frac{y - 1}{y - 1}=-1$。
-1
将$x = 1$代入$y ＜ \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}+\frac{1}{2}$，得$y ＜ 0 + 0+\frac{1}{2}$，即$y ＜ \frac{1}{2}$。
所以$1 - y ＞ 0$，则$\vert1 - y\vert = 1 - y$。
因此$\frac{\vert1 - y\vert}{y - 1}=\frac{1 - y}{y - 1}=-\frac{y - 1}{y - 1}=-1$。
-1
