【例 2】 已知函数$y = (m - 2)x^{3 - |m|} + m + 7$。
（1）当$m$为何值时，$y$是$x$的一次函数？
（2）若函数是一次函数，则$x$为何值时，$y$的值为$3$？
【点拨】 根据一次函数的定义，形如$y = kx + b$（$k$，$b$是常数，$k≠0$）的函数叫作一次函数。观察一次函数的形式，$x$的次数为$1$，同时要保证$k≠0$，$b$可以为任意实数。

【例2】解：(1)由y=(m-2)x^{3-|m|}+m+7是一次函数，根据一次函数定义可得3-|m|=1，解得m=±2.
∵k≠0，即m-2≠0，解得m≠2，
∴m=-2.故当m=-2时，y=(m-2)x^{3-|m|}+m+7是一次函数.
(2)由(1)可知，m=-2，则y=-4x+5.当y=3时，3=-4x+5，解得x=$\frac{1}{2}$，故当x=$\frac{1}{2}$时，y的值为3.

【解析】
(1) 因为$y=(m - 2)x^{3 - |m|}+m + 7$是一次函数，根据一次函数定义，$x$的次数为$1$，所以$3 - |m| = 1$，即$|m| = 2$，解得$m=\pm2$。
又因为一次函数中$k≠0$，这里$k = m - 2$，所以$m - 2≠0$，解得$m≠2$。
综上，$m=-2$。
(2) 由(1)知$m = - 2$，则函数为$y=-4x + 5$。
当$y = 3$时，代入函数可得$3=-4x + 5$，移项得$4x = 5 - 3$，即$4x = 2$，解得$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m=-2$；(2) $x = \frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的定义、绝对值方程的求解、一元一次方程的求解
【点评】
本题先根据一次函数定义求出$m$的值，再代入函数求解$x$的值，考查了对一次函数概念的理解和运用方程求解的能力。
【难度系数】
0.3

1. 下列说法中，正确的是()

A.正比例函数是一次函数
B.一次函数是正比例函数
C.正比例函数不是一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数

1. A

【解析】
- 首先明确一次函数和正比例函数的定义：
一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）。
正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$）。
- 然后分析选项：
选项A：正比例函数$y = kx$（$k≠0$）符合一次函数$y = kx + b$（$k≠0$）中$b = 0$的情况，所以正比例函数是一次函数，该选项正确。
选项B：一次函数$y = kx + b$（$k≠0$），当$b≠0$时，不是正比例函数，所以一次函数不一定是正比例函数，该选项错误。
选项C：由选项A的分析可知正比例函数是一次函数，该选项错误。
选项D：一次函数$y = kx + b$（$k≠0$），当$b≠0$时，不是正比例函数，但它是一次函数，所以不是正比例函数也可能是一次函数，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数与正比例函数的概念辨析，通过对函数表达式形式的分析来判断选项的正确性。
【难度系数】
0.7

2. 若函数$y = x^{k - 6}$是正比例函数，则$k$的值为()

A.$k = 7$
B.$k≠0$
C.$k = 7$或$5$
D.$k＞3$

2. A

【解析】
根据正比例函数的定义，形如$y = kx$（$k$是常数，$k≠0$）的函数叫做正比例函数。
对于函数$y = x^{k - 6}$，可得$k - 6 = 1$，
解得$k = 7$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题考查正比例函数的定义，根据定义列出方程求解即可。
【难度系数】
0.6

3. 若函数$y = (k + 2)x + 5$是一次函数，则$k$应满足的条件为()

A.$k＞-2$
B.$k＜-2$
C.$k≠ -2$
D.$k = -2$

3. C

【解析】
根据一次函数的定义，形如$y = ax + b$（$a≠0$）的函数为一次函数。
在函数$y=(k + 2)x + 5$中，$a = k + 2$，要使该函数为一次函数，则$k + 2≠0$，
解得$k≠ - 2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数的定义，通过对一次函数定义的理解来确定$k$的取值范围。
【难度系数】
0.8

4. 下列函数：①$y = -8x$；②$y = -\frac{8}{x}$；③$y = 5x^2 + 6$；④$y = -0.5x - 1$；⑤$y = π x$；⑥$y = x^2$。其中一次函数有，正比例函数有。(填序号)

4. ①④⑤ ①⑤

【解析】
一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）。
- ①$y = -8x$，符合一次函数$y = kx + b$的形式，其中$k=-8$，$b = 0$，是一次函数，也是正比例函数（正比例函数是$b = 0$的一次函数）。
- ②$y = -\frac{8}{x}$，是反比例函数，不是一次函数。
- ③$y = 5x^2 + 6$，未知数$x$的最高次数是$2$，是二次函数，不是一次函数。
- ④$y = -0.5x - 1$，符合一次函数$y = kx + b$的形式，其中$k=-0.5$，$b=-1$，是一次函数。
- ⑤$y = πx$，符合一次函数$y = kx + b$的形式，其中$k = π$，$b = 0$，是一次函数，也是正比例函数。
- ⑥$y = x^2$，未知数$x$的最高次数是$2$，是二次函数，不是一次函数。
所以一次函数有①④⑤，正比例函数有①⑤。
【答案】
一次函数：①④⑤；正比例函数：①⑤
【知识点】
一次函数定义、正比例函数定义
【点评】
本题考查一次函数与正比例函数的定义，通过对每个函数表达式的分析判断其所属类型，要求学生准确掌握相关函数定义。
【难度系数】
0.6

5. 写出一个系数为$3$，常数项不为$0$的一次函数是。

5. y=3x+2 (答案不唯一)

【解析】
一次函数的一般式为$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），已知系数$k = 3$，常数项$b≠0$，取$b = 2$，则函数可以是$y = 3x + 2$。
【答案】
$y = 3x + 2$（答案不唯一）
【知识点】
一次函数表达式
【点评】
本题考查一次函数的基本概念，根据一次函数的形式，确定系数和常数项的值即可写出函数表达式。
【难度系数】
0.8

6. 已知函数$y = (k - 2)x + 2k + 1$，若它是正比例函数，则$k$的值为；若它是一次函数，则$k$应满足的条件为。

6. -$\frac{1}{2}$ k≠2

【解析】
- 正比例函数情况：
正比例函数的一般形式为$y = mx$（$m$为常数，$m≠0$）。
已知函数$y=(k - 2)x+2k + 1$是正比例函数，则$2k + 1 = 0$且$k - 2≠0$。
由$2k+1 = 0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，同时$k = -\frac{1}{2}$满足$k - 2≠0$。
一次函数情况：
一次函数的一般形式为$y = mx + n$（$m$，$n$为常数，$m≠0$）。
对于函数$y=(k - 2)x+2k + 1$，要使其为一次函数，则$k - 2≠0$，即$k≠2$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$；$k≠2$
【知识点】
正比例函数；一次函数
【点评】
本题考查正比例函数和一次函数的定义，通过对比函数形式列出关于$k$的条件求解。
【难度系数】
0.6

7. 根据实际情境，写出函数解析式。
（1）仓库内原有粉笔$400$盒。如果每个星期领出$36$盒，求仓库内余下的粉笔盒数$Q$与星期数$t$之间的函数关系式。
（2）一个长方形的一边比另一边长$3$cm，求周长$L$（cm）与短边长$a$（cm）的函数关系式。

7. 解：(1) Q=400-36t. (2) L=4a+6.

【解析】
(1) 仓库内原有粉笔$400$盒，每个星期领出$36$盒，领出的盒数为$36t$，则余下的粉笔盒数$Q = 400 - 36t$。
(2) 长方形短边长为$a$cm，长边比短边长$3$cm，则长边为$(a + 3)$cm，周长$L = 2×(a + a + 3)=4a + 6$。
【答案】
(1)$Q = 400 - 36t$；(2)$L = 4a + 6$
【知识点】
函数关系式、长方形周长公式、一次函数
【点评】
本题主要考查根据实际情境列函数关系式，（1）题根据原有粉笔盒数与领出盒数的关系求解，（2）题根据长方形周长公式求解，题目较为基础。
【难度系数】
0.7