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8. 已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$。
（1）若这个函数是一次函数，求$m$的取值范围。
（2）若这个函数是正比例函数，求$m$的取值。
（1）若这个函数是一次函数，求$m$的取值范围。
（2）若这个函数是正比例函数，求$m$的取值。
答案
8. 解：(1)当2m+1≠0时，即m≠-$\frac{1}{2}$时这个函数是一次函数.
(2)由(1)m≠-$\frac{1}{2}$，当m-3=0时，解得m=3时，这个函数是正比例函数.
(2)由(1)m≠-$\frac{1}{2}$，当m-3=0时，解得m=3时，这个函数是正比例函数.
解析
【解析】
（1）对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），在函数$y=(2m + 1)x + m - 3$中，$k = 2m + 1$，$b = m - 3$。
因为该函数是一次函数，所以$2m + 1≠0$，
移项可得$2m≠ - 1$，
两边同时除以$2$，解得$m≠-\frac{1}{2}$。
（2）对于正比例函数$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），在函数$y=(2m + 1)x + m - 3$中，$b = 0$且$k≠0$。
由（1）知$k = 2m + 1≠0$时$m≠-\frac{1}{2}$，
又因为$b = m - 3 = 0$，
移项可得$m = 3$，
所以当$m = 3$时，这个函数是正比例函数。
【答案】
（1）$m≠-\frac{1}{2}$；（2）$m = 3$
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，通过对函数形式中系数的分析求解$m$的值，需要学生准确理解函数定义的条件。
【难度系数】
0.3
（1）对于一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），在函数$y=(2m + 1)x + m - 3$中，$k = 2m + 1$，$b = m - 3$。
因为该函数是一次函数，所以$2m + 1≠0$，
移项可得$2m≠ - 1$，
两边同时除以$2$，解得$m≠-\frac{1}{2}$。
（2）对于正比例函数$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），在函数$y=(2m + 1)x + m - 3$中，$b = 0$且$k≠0$。
由（1）知$k = 2m + 1≠0$时$m≠-\frac{1}{2}$，
又因为$b = m - 3 = 0$，
移项可得$m = 3$，
所以当$m = 3$时，这个函数是正比例函数。
【答案】
（1）$m≠-\frac{1}{2}$；（2）$m = 3$
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，通过对函数形式中系数的分析求解$m$的值，需要学生准确理解函数定义的条件。
【难度系数】
0.3
9. 写出下列各题中$y$与$x$之间的关系式，并判断$y$是否为$x$的一次函数。
（1）在时速为$80$km/h 的匀速运动中，路程$y$（km）与时间$x$（h）之间的关系。
（2）汽车从 A 站驶出，先走了$4$km，再以$40$km/h 的平均速度行驶了$x$h，那么汽车离开 A 站的路程$y$（km）与时间$x$（h）之间的关系。
（3）某车站规定旅客可以免费携带不超过$20$kg 的行李，超过部分每千克收取$1.5$元的行李费用，则旅客需交的行李费$y$（元）与携带行李质量$x$（kg）（$x＞20$）之间的关系。
（1）在时速为$80$km/h 的匀速运动中，路程$y$（km）与时间$x$（h）之间的关系。
（2）汽车从 A 站驶出，先走了$4$km，再以$40$km/h 的平均速度行驶了$x$h，那么汽车离开 A 站的路程$y$（km）与时间$x$（h）之间的关系。
（3）某车站规定旅客可以免费携带不超过$20$kg 的行李，超过部分每千克收取$1.5$元的行李费用，则旅客需交的行李费$y$（元）与携带行李质量$x$（kg）（$x＞20$）之间的关系。
答案
9. 解：(1)由题可得，y=80x是一次函数.
(2)由题可得，y=40x+4是一次函数.
(3)由题可得，y=1.5(x-20)是一次函数.
(2)由题可得，y=40x+4是一次函数.
(3)由题可得，y=1.5(x-20)是一次函数.
10. (2025·上海)下列函数中，是正比例函数的是(
A.$y = 3x + 1$
B.$y = 3x^2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{x}{3}$
D
)A.$y = 3x + 1$
B.$y = 3x^2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{x}{3}$
答案
10. D
解析
【解析】
正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$）。
- $A$选项：$y = 3x + 1$，不符合$y = kx$的形式，不是正比例函数。
- $B$选项：$y = 3x^2$，$x$的次数是$2$，不符合$y = kx$的形式，不是正比例函数。
- $C$选项：$y=\frac{3}{x}$，不符合$y = kx$的形式，不是正比例函数。
- $D$选项：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，符合$y = kx$（$k = \frac{1}{3}$）的形式，是正比例函数。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数概念
【点评】
本题考查正比例函数的概念，通过对各选项函数形式与正比例函数一般形式对比判断。
【难度系数】
0.8
正比例函数的一般形式为$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$）。
- $A$选项：$y = 3x + 1$，不符合$y = kx$的形式，不是正比例函数。
- $B$选项：$y = 3x^2$，$x$的次数是$2$，不符合$y = kx$的形式，不是正比例函数。
- $C$选项：$y=\frac{3}{x}$，不符合$y = kx$的形式，不是正比例函数。
- $D$选项：$y=\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x$，符合$y = kx$（$k = \frac{1}{3}$）的形式，是正比例函数。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数概念
【点评】
本题考查正比例函数的概念，通过对各选项函数形式与正比例函数一般形式对比判断。
【难度系数】
0.8
11. (2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长$y$(cm)是尾长$x$(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则$y$与$x$之间的关系式为(
A.$y = 7.5x + 0.5$
B.$y = 7.5x - 0.5$
C.$y = 15x$
D.$y = 15x + 45.5$
A
)A.$y = 7.5x + 0.5$
B.$y = 7.5x - 0.5$
C.$y = 15x$
D.$y = 15x + 45.5$
答案
11. A
解析
【解析】
设$y$与$x$之间的关系式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
将$\begin{cases}x = 6\\y = 45.5\end{cases}$和$\begin{cases}x = 8\\y = 60.5\end{cases}$代入$y = kx + b$中，得到$\begin{cases}6k + b = 45.5\\8k + b = 60.5\end{cases}$。
用$8k + b = 60.5$减去$6k + b = 45.5$，可得：
$\begin{aligned}8k + b-(6k + b)&=60.5 - 45.5\\8k + b - 6k - b&=15\\2k&=15\\k&=7.5\end{aligned}$
把$k = 7.5$代入$6k + b = 45.5$，得：
$\begin{aligned}6×7.5 + b&=45.5\\45 + b&=45.5\\b&=45.5 - 45\\b&=0.5\end{aligned}$
所以$y$与$x$之间的关系式为$y = 7.5x + 0.5$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数表达式求解
【点评】
本题考查一次函数表达式的求解，通过代入数据建立方程组求解，思路清晰。
【难度系数】
0.6
设$y$与$x$之间的关系式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
将$\begin{cases}x = 6\\y = 45.5\end{cases}$和$\begin{cases}x = 8\\y = 60.5\end{cases}$代入$y = kx + b$中，得到$\begin{cases}6k + b = 45.5\\8k + b = 60.5\end{cases}$。
用$8k + b = 60.5$减去$6k + b = 45.5$，可得：
$\begin{aligned}8k + b-(6k + b)&=60.5 - 45.5\\8k + b - 6k - b&=15\\2k&=15\\k&=7.5\end{aligned}$
把$k = 7.5$代入$6k + b = 45.5$，得：
$\begin{aligned}6×7.5 + b&=45.5\\45 + b&=45.5\\b&=45.5 - 45\\b&=0.5\end{aligned}$
所以$y$与$x$之间的关系式为$y = 7.5x + 0.5$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数表达式求解
【点评】
本题考查一次函数表达式的求解，通过代入数据建立方程组求解，思路清晰。
【难度系数】
0.6
