6. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=90°$.
(1)求证：$CE=BD$.
(2)若$AC=2$，$EC=4$，$DC=2\sqrt{2}$，求$∠ ACD$的度数.
(3)在(2)的条件下，直接写出$DE$的长为 .(只填结果，不用写计算过程)

6. （1）证明：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，
∴∠EAC=∠BAD.
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD.
（2）解：
∵△ACE≌△ABD，
∴BD=EC=4.
∵BC²=AC²+AB²=2²+2²=8，CD²=$(2\sqrt{2})^{2}=8$，BD²=4²=16，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°.
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=135°.
（3）$2\sqrt{10}$.

【解析】
（1）证明：
因为$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，
所以$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，
即$∠ EAC = ∠ BAD$。
又因为$AB = AC$，$AD = AE$，
所以$△ ACE≌△ ABD$（$SAS$），
所以$CE = BD$。
（2）解：
因为$△ ACE≌△ ABD$，
所以$BD = EC = 4$。
因为$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}=2^{2}+2^{2}=8$，$CD^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=8$，$BD^{2}=4^{2}=16$，
所以$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$，
所以$∠ BCD = 90°$。
因为$∠ ACB = 45°$，
所以$∠ ACD = ∠ BCD + ∠ ACB = 135°$。
（3）直接根据勾股定理计算可得$DE = 2\sqrt{10}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$∠ ACD = 135°$；（3）$2\sqrt{10}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查全等三角形、勾股定理逆定理等知识，（1）通过角的等量代换证明全等从而得线段相等，（2）利用全等得线段长，再结合勾股定理逆定理和等腰直角三角形性质求角度，（3）直接运用勾股定理计算。
【难度系数】
0.4

7. (2025·湖南)已知，$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三条边长，记$t=(\dfrac{a}{c})^{k}+(\dfrac{b}{c})^{k}$，其中$k$为整数.
(1)若三角形为等边三角形，则$t=$ .
(2)若$k=2$，$t=1$，请判断$△ ABC$是否为直角三角形.

7. 解：（1）由题，可知t=1ᵏ+1ᵏ=1+1=2，故答案为2.
（2）当k=2，t=1时，则1=$(\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$，即a²+b²=c²，
∴三角形为直角三角形.

【解析】
（1）因为三角形为等边三角形，所以$a = b = c$，则$t = (\frac{a}{c})^{k}+(\frac{b}{c})^{k}=1^{k}+1^{k}=1 + 1 = 2$。
（2）当$k = 2$，$t = 1$时，$1 = (\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$，等式两边同时乘以$c^{2}$得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
（1）$2$；（2）$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题第一问考查等边三角形性质的简单应用，第二问考查勾股定理逆定理的应用，整体难度适中，需要学生对相关定理有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
$0.6$