【知识点】勾股定理及逆定理的实际应用
◎勾股数：满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个，称为勾股数.
◎勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^2 + b^2 = c^2$.
◎勾股定理逆定理：如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形.

[知识点]正整数

【解析】
根据勾股数的定义，直接得出答案。
【答案】
正整数
【知识点】
勾股数
【点评】
本题考查勾股数的定义，属于基础概念题。
【难度系数】
0.9

1. 下列各组数为勾股数的是()

A.7，12，13
B.3，4，7
C.0.3，0.4，0.5
D.8，15，17

1.D

【解析】
勾股数是满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的正整数组。
- 选项A：
$7^{2}+12^{2}=49 + 144 = 193$，$13^{2}=169$，因为$193≠169$，所以$7$，$12$，$13$不是勾股数。
- 选项B：
$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$，$7^{2}=49$，因为$25≠49$，所以$3$，$4$，$7$不是勾股数。
- 选项C：
$0.3$，$0.4$，$0.5$不是正整数，所以不是勾股数。
- 选项D：
$8^{2}+15^{2}=64 + 225 = 289$，$17^{2}=289$，因为$289 = 289$，且$8$，$15$，$17$是正整数，所以$8$，$15$，$17$是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数
【点评】
本题考查勾股数的概念，需要判断每组数是否满足勾股数的定义。
【难度系数】
0.6

2. 如图20.2-2，长方形$BCFG$是一块草地，折线$ABCDE$是一条人行道，$BC = 12\ \mathrm{m}$，$CD = 5\ \mathrm{m}$. 为了避免行人穿过草地(走虚线$BD$)，践踏绿草，管理部门分别在$B$，$D$处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走()米，踏之何忍”.

A.3
B.4
C.5
D.6

2.B

【解析】
过点$D$作$DH⊥ BC$于点$H$。
因为四边形$BCFG$是长方形，所以$DH = CD = 5\mathrm{m}$，$BH = BC - CH$，又因为$CH = CD = 5\mathrm{m}$，$BC = 12\mathrm{m}$，所以$BH = 12 - 5 = 7\mathrm{m}$。
在$Rt△ BDH$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{7^{2}+5^{2}}=\sqrt{49 + 25}=\sqrt{74}\approx 8.6\mathrm{m}$。
$BC + CD=12 + 5 = 17\mathrm{m}$，$17-13 = 4\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、长方形性质
【点评】
本题通过构造直角三角形，运用勾股定理求解线段长度，考查对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.3

【例】学校在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识. 如图20.2-3，四边形$ABCD$是规划好的“试验田”，经过测量得知$∠ B = 90°$，$AB = 24\ \mathrm{m}$，$BC = 7\ \mathrm{m}$，$CD = 15\ \mathrm{m}$，$AD = 20\ \mathrm{m}$.
(1) 求$∠ D$的度数.
(2) 求四边形$ABCD$的面积.
【点拨】(1) 先利用勾股定理计算$AC$，再利用勾股定理的逆定理判断$△ ADC$是直角三角形. (2) 根据$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ ABC}$计算四边形的面积. 本题考查了勾股定理及其逆定理，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键.

[例]解：(1)在Rt△ABC中，AB = 24m，BC = 7m，
∴AC = $\sqrt{24^{2} + 7^{2}}$ = 25(m)。在△ADC中，CD = 15m，AD = 20m，AC = 25m，
∵CD² + AD² = 15² + 20² = 25² = AC²，
∴△ADC为直角三角形，
∴∠D = 90°。
(2)
∵△ADC是直角三角形，
∴S△ADC = $\frac{1}{2}$×AD×DC = $\frac{1}{2}$×20×15 = 150(m²)。
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$×AB×BC = $\frac{1}{2}$×24×7 = 84(m²)，
∴S四边形ABCD = S△ADC + S△ABC = 150 + 84 = 234(m²)。

【解析】
(1)在$Rt△ ABC$中，$AB = 24m$，$BC = 7m$，
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{24^{2}+7^{2}} = 25(m)$。
在$△ ADC$中，$CD = 15m$，$AD = 20m$，$AC = 25m$，
因为$CD^{2}+AD^{2}=15^{2}+20^{2}=225 + 400 = 625$，$AC^{2}=25^{2}=625$，
所以$CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$△ ADC$为直角三角形，
所以$∠ D = 90°$。
(2)
因为$△ ADC$是直角三角形，
所以$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× DC=\frac{1}{2}×20×15 = 150(m^{2})$。
因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×24×7 = 84(m^{2})$，
所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=150 + 84 = 234(m^{2})$。
【答案】
(1)$∠ D = 90°$；(2)$234m^{2}$
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过勾股定理求出直角三角形的斜边，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后根据三角形面积公式求四边形面积，考查了学生对相关定理和公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.6