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1. 小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边$AB$和$BC$的长，再测量点$A$和点$C$之间的距离，由此可推断$∠ B$是不是直角，这样做的依据是(
A.勾股定理
B.若三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
B
)A.勾股定理
B.若三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
答案
1.B
解析
【解析】
本题考查勾股定理的逆定理。
- 步骤一：分析选项A
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即若$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，则$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。而本题是通过三边关系来判断是否为直角三角形，不是勾股定理，所以A选项错误。
- 步骤二：分析选项B
若三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理。本题中测量$AB$、$BC$、$AC$的长度，若$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，则$∠ B = 90°$，是利用勾股定理的逆定理来判断$∠ B$是不是直角，所以B选项正确。
- 步骤三：分析选项C
三角形内角和定理是三角形的内角和等于$180°$，与本题通过三边关系判断角是否为直角无关，所以C选项错误。
- 步骤四：分析选项D
直角三角形的两锐角互余是指在直角三角形中，两个锐角的和为$90°$，与本题通过三边关系判断角是否为直角无关，所以D选项错误。
综上，答案是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题通过实际问题考查勾股定理的逆定理，需要学生理解并区分勾股定理及其逆定理的概念。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的逆定理。
- 步骤一：分析选项A
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即若$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，则$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。而本题是通过三边关系来判断是否为直角三角形，不是勾股定理，所以A选项错误。
- 步骤二：分析选项B
若三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理。本题中测量$AB$、$BC$、$AC$的长度，若$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，则$∠ B = 90°$，是利用勾股定理的逆定理来判断$∠ B$是不是直角，所以B选项正确。
- 步骤三：分析选项C
三角形内角和定理是三角形的内角和等于$180°$，与本题通过三边关系判断角是否为直角无关，所以C选项错误。
- 步骤四：分析选项D
直角三角形的两锐角互余是指在直角三角形中，两个锐角的和为$90°$，与本题通过三边关系判断角是否为直角无关，所以D选项错误。
综上，答案是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题通过实际问题考查勾股定理的逆定理，需要学生理解并区分勾股定理及其逆定理的概念。
【难度系数】
0.8
2. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为$0.7\ \mathrm{m}$，顶端距离地面$2.4\ \mathrm{m}$. 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面$2\ \mathrm{m}$. 则小巷的宽度为(
A.$0.7\ \mathrm{m}$
B.$1.5\ \mathrm{m}$
C.$2.2\ \mathrm{m}$
D.$2.4\ \mathrm{m}$
C
)A.$0.7\ \mathrm{m}$
B.$1.5\ \mathrm{m}$
C.$2.2\ \mathrm{m}$
D.$2.4\ \mathrm{m}$
答案
2.C
解析
【解析】
设梯子长度为$x$米。
当梯子斜靠在左墙时，根据勾股定理可得$x^{2}=0.7^{2}+2.4^{2}=0.49 + 5.76 = 6.25$，则$x = 2.5$米。
当梯子斜靠在右墙时，设此时梯子底端到右墙角的距离为$y$米，根据勾股定理可得$2.5^{2}=y^{2}+2^{2}$，即$y^{2}=6.25 - 4 = 2.25$，解得$y = 1.5$米。
所以小巷的宽度为$0.7 + 1.5 = 2.2$米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、平方根
【点评】
本题通过两次运用勾股定理求解，先求出梯子长度，再求出梯子斜靠右墙时底端到右墙角的距离，最后得出小巷宽度。
【难度系数】
0.5
设梯子长度为$x$米。
当梯子斜靠在左墙时，根据勾股定理可得$x^{2}=0.7^{2}+2.4^{2}=0.49 + 5.76 = 6.25$，则$x = 2.5$米。
当梯子斜靠在右墙时，设此时梯子底端到右墙角的距离为$y$米，根据勾股定理可得$2.5^{2}=y^{2}+2^{2}$，即$y^{2}=6.25 - 4 = 2.25$，解得$y = 1.5$米。
所以小巷的宽度为$0.7 + 1.5 = 2.2$米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、平方根
【点评】
本题通过两次运用勾股定理求解，先求出梯子长度，再求出梯子斜靠右墙时底端到右墙角的距离，最后得出小巷宽度。
【难度系数】
0.5
3. 如图，瓢虫在地图上从点$A$先向南爬$7\ \mathrm{cm}$，又向东爬$4\ \mathrm{cm}$，再向北爬$2\ \mathrm{cm}$，又向东爬$4\ \mathrm{cm}$，再向南爬$1\ \mathrm{cm}$到点$B$，如此爬行比从点$A$直接爬到点$B$多爬行(
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$7\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
A
)A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$7\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$
答案
3.A
解析
【解析】
- 计算瓢虫爬行的总路程：
瓢虫向南爬的路程为$7 + 1=8\mathrm{cm}$，向北爬的路程为$2\mathrm{cm}$，那么在南北方向上相对$A$点移动的距离为$8 - 2 = 6\mathrm{cm}$（向南为正方向）。
瓢虫向东爬的路程为$4 + 4 = 8\mathrm{cm}$。
瓢虫爬行的总路程$s=7 + 4+2 + 4+1=18\mathrm{cm}$。
计算$AB$的距离：
根据勾股定理，$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$。
计算多爬行的距离：
多爬行的距离$=18-10 = 8\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、路程计算、方向移动
【点评】
本题通过分析瓢虫在不同方向上的爬行路程，结合勾股定理求解$AB$距离，进而得出多爬行的距离，考查了对方向移动和勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.3
- 计算瓢虫爬行的总路程：
瓢虫向南爬的路程为$7 + 1=8\mathrm{cm}$，向北爬的路程为$2\mathrm{cm}$，那么在南北方向上相对$A$点移动的距离为$8 - 2 = 6\mathrm{cm}$（向南为正方向）。
瓢虫向东爬的路程为$4 + 4 = 8\mathrm{cm}$。
瓢虫爬行的总路程$s=7 + 4+2 + 4+1=18\mathrm{cm}$。
计算$AB$的距离：
根据勾股定理，$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$。
计算多爬行的距离：
多爬行的距离$=18-10 = 8\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、路程计算、方向移动
【点评】
本题通过分析瓢虫在不同方向上的爬行路程，结合勾股定理求解$AB$距离，进而得出多爬行的距离，考查了对方向移动和勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.3
4. 如图，某港口$P$位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点$Q$，$R$处，且相距30海里. 已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿
西北
方向航行.答案
4.西北
解析
【解析】
根据路程 = 速度×时间，可得$PQ = 16×1.5 = 24$（海里），$PR = 12×1.5 = 18$（海里）。
因为$24^{2}+18^{2}=30^{2}$，即$PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$，所以$△ PQR$是直角三角形，$∠ QPR = 90°$。
已知“远航”号沿东北方向航行，即$∠ QPS = 45°$，所以$∠ SPR = 90°-45°=45°$，故“海天”号沿西北方向航行。
【答案】
西北
【知识点】
勾股定理逆定理、方向角、路程速度时间关系
【点评】
本题通过计算三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再结合方向角知识求解，考查知识点综合。
【难度系数】
0.3
根据路程 = 速度×时间，可得$PQ = 16×1.5 = 24$（海里），$PR = 12×1.5 = 18$（海里）。
因为$24^{2}+18^{2}=30^{2}$，即$PQ^{2}+PR^{2}=QR^{2}$，所以$△ PQR$是直角三角形，$∠ QPR = 90°$。
已知“远航”号沿东北方向航行，即$∠ QPS = 45°$，所以$∠ SPR = 90°-45°=45°$，故“海天”号沿西北方向航行。
【答案】
西北
【知识点】
勾股定理逆定理、方向角、路程速度时间关系
【点评】
本题通过计算三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，再结合方向角知识求解，考查知识点综合。
【难度系数】
0.3
