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3. 用$12$根等长的火柴棒拼三角形(全部用上，不可折断、重叠)，①能拼成直角三角形；②能拼成等边三角形；③能拼成$3$种等腰非等边三角形.说法正确的有
①②
.(填序号)答案
3. ①②
解析
【解析】
设每根火柴棒长度为$1$，三角形三边分别为$a$、$b$、$c$（$a≤ b≤ c$），根据三角形三边关系$a + b＞c$，且$a + b + c = 12$。
对于①：当三边为$3$、$4$、$5$时，$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，满足勾股定理，能拼成直角三角形。
对于②：当三边都为$4$时，$4 + 4＞4$，能拼成等边三角形。
对于③：等腰非等边三角形，设腰长为$x$，底边长为$y$，则$2x + y = 12$，即$y = 12 - 2x$。根据三边关系$2x＞y$，即$2x＞12 - 2x$，解得$x＞3$；又因为$y＞0$，即$12 - 2x＞0$，解得$x＜6$。$x$为整数，所以$x = 4$或$x = 5$，只有$2$种等腰非等边三角形。
【答案】
①②
【知识点】
三角形三边关系、勾股定理、等边三角形判定
【点评】
本题考查三角形相关知识，通过三边关系和勾股定理等判断三角形形状，需准确分析各种情况。
【难度系数】
0.6
设每根火柴棒长度为$1$，三角形三边分别为$a$、$b$、$c$（$a≤ b≤ c$），根据三角形三边关系$a + b＞c$，且$a + b + c = 12$。
对于①：当三边为$3$、$4$、$5$时，$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，满足勾股定理，能拼成直角三角形。
对于②：当三边都为$4$时，$4 + 4＞4$，能拼成等边三角形。
对于③：等腰非等边三角形，设腰长为$x$，底边长为$y$，则$2x + y = 12$，即$y = 12 - 2x$。根据三边关系$2x＞y$，即$2x＞12 - 2x$，解得$x＞3$；又因为$y＞0$，即$12 - 2x＞0$，解得$x＜6$。$x$为整数，所以$x = 4$或$x = 5$，只有$2$种等腰非等边三角形。
【答案】
①②
【知识点】
三角形三边关系、勾股定理、等边三角形判定
【点评】
本题考查三角形相关知识，通过三边关系和勾股定理等判断三角形形状，需准确分析各种情况。
【难度系数】
0.6
4. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地.如图，已知$AC=4$，$BC=3$，$BD=12$，$AD=13$，$∠ ACB=90°$，求阴影部分的面积.
答案
4. 解：如图，连接AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=5$.又
∵BD=12，AD=13，
∴AB²+BD²=169=AD²，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∴阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×AB×BD-\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3=24$.
解析
【解析】
解：如图，连接$AB$，
∵$∠ ACB = 90°$，$AC = 4$，$BC = 3$，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
又∵$BD = 12$，$AD = 13$，
∴$AB^{2}+BD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$AD^{2}=13^{2}=169$，
即$AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}$，
∴$∠ ABD = 90°$，
∴$△ ABD$是直角三角形，
∴阴影部分的面积为$S_{△ ABD}-S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BD-\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3 = 30 - 6 = 24$。
【答案】
$24$
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题通过连接辅助线$AB$，先利用勾股定理求出$AB$的长度，再通过勾股定理的逆定理判断$△ ABD$的形状，最后根据三角形面积公式求出阴影部分面积，考查了对勾股定理及其逆定理的理解与运用以及三角形面积计算能力。
【难度系数】
$0.6$
解：如图，连接$AB$，
∵$∠ ACB = 90°$，$AC = 4$，$BC = 3$，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$。
又∵$BD = 12$，$AD = 13$，
∴$AB^{2}+BD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$AD^{2}=13^{2}=169$，
即$AB^{2}+BD^{2}=AD^{2}$，
∴$∠ ABD = 90°$，
∴$△ ABD$是直角三角形，
∴阴影部分的面积为$S_{△ ABD}-S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BD-\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3 = 30 - 6 = 24$。
【答案】
$24$
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积计算
【点评】
本题通过连接辅助线$AB$，先利用勾股定理求出$AB$的长度，再通过勾股定理的逆定理判断$△ ABD$的形状，最后根据三角形面积公式求出阴影部分面积，考查了对勾股定理及其逆定理的理解与运用以及三角形面积计算能力。
【难度系数】
$0.6$
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB:CB:CA=3:4:5$，且周长为$72\ \mathrm{cm}$，点$M$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度从$A$向$B$运动，点$N$以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度从$B$向$C$运动，如果两点同时出发，经过$4\ \mathrm{s}$后，$△ BMN$的面积为多少？
答案
5. 解：设AB=3x cm，CB=4x cm，CA=5x cm，
∴3x+4x+5x=72，
∴x=6，
∴AB=18 cm，CB=24 cm，CA=30 cm.
∵AB²+CB²=18²+24²=900，CA²=30²=900，
∴AB²+CB²=CA²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°.当t=4时，BM=AB - AM=18 - 2×4=10（cm），BN=3×4=12（cm），
∴S△BMN=$\frac{1}{2}BM·BN=60$ cm²，
∴经过4 s时，△BMN的面积为60 cm².
∴3x+4x+5x=72，
∴x=6，
∴AB=18 cm，CB=24 cm，CA=30 cm.
∵AB²+CB²=18²+24²=900，CA²=30²=900，
∴AB²+CB²=CA²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°.当t=4时，BM=AB - AM=18 - 2×4=10（cm），BN=3×4=12（cm），
∴S△BMN=$\frac{1}{2}BM·BN=60$ cm²，
∴经过4 s时，△BMN的面积为60 cm².
解析
【解析】
设$AB = 3x\ \mathrm{cm}$，$CB = 4x\ \mathrm{cm}$，$CA = 5x\ \mathrm{cm}$。
因为$△ABC$周长为$72\ \mathrm{cm}$，所以$3x + 4x + 5x = 72$，
即$12x = 72$，解得$x = 6$。
所以$AB = 3×6 = 18\ \mathrm{cm}$，$CB = 4×6 = 24\ \mathrm{cm}$，$CA = 5×6 = 30\ \mathrm{cm}$。
又因为$AB^{2}+CB^{2}=18^{2}+24^{2}=324 + 576 = 900$，$CA^{2}=30^{2}=900$，
所以$AB^{2}+CB^{2}=CA^{2}$，根据勾股定理逆定理可知$△ABC$是直角三角形，$∠ B = 90°$。
当$t = 4\ \mathrm{s}$时，$BM = AB - AM = 18 - 2×4 = 18 - 8 = 10\ \mathrm{cm}$，$BN = 3×4 = 12\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△BMN$，$BM$为底，$BN$为高，
所以$S_{△BMN}=\frac{1}{2}BM·BN=\frac{1}{2}×10×12 = 60\ \mathrm{cm}^{2}$。
【答案】
经过$4\ \mathrm{s}$后，$△BMN$的面积为$60\ \mathrm{cm}^{2}$。
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形面积公式、行程问题
【点评】
本题先根据比例关系和周长求出三角形三边长度，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状，最后根据行程问题求出$BM$、$BN$长度，进而求出三角形面积，考查知识点综合，解题思路清晰。
【难度系数】
$0.6$
设$AB = 3x\ \mathrm{cm}$，$CB = 4x\ \mathrm{cm}$，$CA = 5x\ \mathrm{cm}$。
因为$△ABC$周长为$72\ \mathrm{cm}$，所以$3x + 4x + 5x = 72$，
即$12x = 72$，解得$x = 6$。
所以$AB = 3×6 = 18\ \mathrm{cm}$，$CB = 4×6 = 24\ \mathrm{cm}$，$CA = 5×6 = 30\ \mathrm{cm}$。
又因为$AB^{2}+CB^{2}=18^{2}+24^{2}=324 + 576 = 900$，$CA^{2}=30^{2}=900$，
所以$AB^{2}+CB^{2}=CA^{2}$，根据勾股定理逆定理可知$△ABC$是直角三角形，$∠ B = 90°$。
当$t = 4\ \mathrm{s}$时，$BM = AB - AM = 18 - 2×4 = 18 - 8 = 10\ \mathrm{cm}$，$BN = 3×4 = 12\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△BMN$，$BM$为底，$BN$为高，
所以$S_{△BMN}=\frac{1}{2}BM·BN=\frac{1}{2}×10×12 = 60\ \mathrm{cm}^{2}$。
【答案】
经过$4\ \mathrm{s}$后，$△BMN$的面积为$60\ \mathrm{cm}^{2}$。
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形面积公式、行程问题
【点评】
本题先根据比例关系和周长求出三角形三边长度，再利用勾股定理逆定理判断三角形形状，最后根据行程问题求出$BM$、$BN$长度，进而求出三角形面积，考查知识点综合，解题思路清晰。
【难度系数】
$0.6$
