【知识点】勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足，那么这个三角形是直角三角形.

【知识点】$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

【解析】
根据勾股定理的逆定理内容，直接得出答案。
【答案】
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的基本内容，属于基础知识点考查。
【难度系数】
0.9

1. 已知三组数据：①$2$，$3$，$4$；②$3$，$4$，$5$；③$1$，$2$，$\sqrt{5}$.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是()

A.②
B.①②
C.①③
D.②③

1. D

【解析】
- 判断①$2$，$3$，$4$能否构成直角三角形：
根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。
对于$2$，$3$，$4$，其中$4$为最长边，$2^{2}+3^{2}=4 + 9 = 13$，$4^{2}=16$，因为$13≠16$，即$2^{2}+3^{2}≠4^{2}$，所以①不能构成直角三角形。
- 判断②$3$，$4$，$5$能否构成直角三角形：
对于$3$，$4$，$5$，其中$5$为最长边，$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$，$5^{2}=25$，因为$25 = 25$，即$3^{2}+4^{2}=5^{2}$，所以②能构成直角三角形。
- 判断③$1$，$2$，$\sqrt{5}$能否构成直角三角形：
对于$1$，$2$，$\sqrt{5}$，其中$\sqrt{5}$为最长边，$1^{2}+2^{2}=1 + 4 = 5$，$(\sqrt{5})^{2}=5$，因为$5 = 5$，即$1^{2}+2^{2}=(\sqrt{5})^{2}$，所以③能构成直角三角形。
综上，②③能构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形的判定
【点评】
本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，通过计算三边的平方关系来判断三角形是否为直角三角形，需要准确计算平方值并进行比较。
【难度系数】
0.6

2. 下列各组线段中能构成直角三角形的是()

A.$2$，$3$，$4$
B.$5$，$6$，$7$
C.$6$，$8$，$10$
D.$5$，$24$，$25$

2. C

【解析】
根据勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边$a$、$b$、$c$（$c$为最长边）满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形。
- 选项A：
$2^{2}+3^{2}=4 + 9 = 13$，$4^{2}=16$，因为$13≠16$，即$2^{2}+3^{2}≠4^{2}$，所以不能构成直角三角形。
- 选项B：
$5^{2}+6^{2}=25 + 36 = 61$，$7^{2}=49$，因为$61≠49$，即$5^{2}+6^{2}≠7^{2}$，所以不能构成直角三角形。
- 选项C：
$6^{2}+8^{2}=36 + 64 = 100$，$10^{2}=100$，因为$100 = 100$，即$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，所以能构成直角三角形。
- 选项D：
$5^{2}+24^{2}=25 + 576 = 601$，$25^{2}=625$，因为$601≠625$，即$5^{2}+24^{2}≠25^{2}$，所以不能构成直角三角形。
综上，答案是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理，通过计算各选项中三边的平方关系来判断是否能构成直角三角形，是对勾股定理逆定理的直接应用。
【难度系数】
0.6

【例】如图$20.2-1$，在四边形$ABCD$中，$∠ BAD=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，$AB=BC=CD=DA$，$E$是$BC$的中点，$F$是$CD$上一点，且$AB=4$，$CF=1$.
求证：$∠ AEF=90°$.
【点拨】由勾股定理可得出$△ AEF$各边的长度，再由勾股定理的逆定理可以证得结论.

【例】证明：
∵E为BC的中点，AB=BC=CD=DA，AB=4，
∴BC=CD=DA=4，BE=CE=2.
∵CF=1，
∴DF=3.
∵∠B=∠C=∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
∵AE²+EF²=20+5=25，AF²=5²=25，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°.

【解析】
证明：
∵E为BC的中点，AB=BC=CD=DA，AB=4，
∴BC=CD=DA=4，BE=CE=2。
∵CF=1，
∴DF=3。
∵∠B=∠C=∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
∵AE²+EF²=20+5=25，AF²=5²=25，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°。
【答案】
证明：
∵E为BC的中点，AB=BC=CD=DA，AB=4，
∴BC=CD=DA=4，BE=CE=2。
∵CF=1，
∴DF=3。
∵∠B=∠C=∠D=90°，
∴AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
∵AE²+EF²=20+5=25，AF²=5²=25，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°。
【知识点】
勾股定理、勾股定理的逆定理、正方形的性质
【点评】
本题通过利用正方形的性质得出边长关系，再运用勾股定理求出三角形三边长度，最后依据勾股定理的逆定理证明角为直角，思路清晰，步骤完整。
【难度系数】
0.6

1. 已知某三角形的三条边长依次为$9\ \mathrm{cm}$，$12\ \mathrm{cm}$，$15\ \mathrm{cm}$，则该三角形是()

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

1. A

【解析】
因为$9^{2}+12^{2}=81 + 144 = 225$，$15^{2}=225$，所以$9^{2}+12^{2}=15^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则这个三角形是直角三角形（其中$c$为最长边）。
此三角形中$15$为最长边，且满足$9^{2}+12^{2}=15^{2}$，所以该三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形的分类
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，通过计算三边的平方关系来判断三角形的类型，是基础题。
【难度系数】
0.6

2. 有下面三角形：
①$△ ABC$中，$∠ C=∠ A-∠ B$；
②$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；
③$△ ABC$中，$a:b:c=1:2:\sqrt{3}$；
④$△ ABC$中，三边长分别为$8$，$15$，$17$.
其中是直角三角形的有()

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

2. C

【解析】
- ①：因为$∠ C = ∠ A-∠ B$，所以$∠ A=∠ B + ∠ C$。
又因为$∠ A+∠ B+∠ C = 180°$，把$∠ A=∠ B + ∠ C$代入可得$2∠ A=180°$，$∠ A = 90°$，所以$△ ABC$是直角三角形。
- ②：设$∠ A = 3x$，$∠ B = 4x$，$∠ C = 5x$。
由$∠ A+∠ B+∠ C = 180°$，可得$3x + 4x+5x=180°$，$12x = 180°$，$x = 15°$。
则$∠ C=5×15°=75°≠90°$，所以$△ ABC$不是直角三角形。
- ③：设$a = x$，$b = 2x$，$c=\sqrt{3}x$。
$a^{2}+c^{2}=x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}=x^{2}+3x^{2}=4x^{2}$，$b^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$。
所以$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
- ④：因为$8^{2}+15^{2}=64 + 225=289$，$17^{2}=289$。
所以$8^{2}+15^{2}=17^{2}$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
综上，①③④是直角三角形，共$3$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和、勾股定理逆定理
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理以及勾股定理逆定理的应用，通过对不同条件下三角形的分析判断其是否为直角三角形。
【难度系数】
0.6