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23. (10 分)某体育用品商场销售$A$、$B$两款足球，售价和进价如表所示：
若该商场购进 10 个$A$款足球和 20 个$B$款足球需 2000 元，购进 20 个$A$款足球和 30 个$B$款足球需 3400 元.
(1)求$m$和$n$的值；
(2)某校在该商场一次性购买$A$款足球$x$个和$B$款足球$y$个，共消费 3600 元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买 1 个$A$款足球送 1 根跳绳，买 3 个$B$款足球送 2 根跳绳”，每根跳绳的成本为 10 元，某日售卖两款足球总计盈利 600 元，那么该日销售$A$、$B$两款足球各多少个？
若该商场购进 10 个$A$款足球和 20 个$B$款足球需 2000 元，购进 20 个$A$款足球和 30 个$B$款足球需 3400 元.
(1)求$m$和$n$的值；
(2)某校在该商场一次性购买$A$款足球$x$个和$B$款足球$y$个，共消费 3600 元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买 1 个$A$款足球送 1 根跳绳，买 3 个$B$款足球送 2 根跳绳”，每根跳绳的成本为 10 元，某日售卖两款足球总计盈利 600 元，那么该日销售$A$、$B$两款足球各多少个？
答案
23. 解：（1）依题意得$\begin{cases}10m + 20n = 2000,\\20m + 30n = 3400,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 80,\\n = 60.\end{cases}$答：$m$的值为$80$，$n$的值为$60$. （2）依题意得$120x + 90y = 3600$，$\therefore4x + 3y = 120$，$\therefore(120 - 80)x + (90 - 60)y = 10(4x + 3y)=10×120 = 1200$. 答：该商场可获利$1200$元. （3）设该日销售$A$款足球$a$个，$B$款足球$b$个，依题意得$(120 - 10 - 80)a+\dfrac{1}{3}×(90×3 - 60×3 - 10×2)b = 600$，$\therefore a = 20-\dfrac{7}{9}b$. 又$\because a$，$b$均为正整数，$\therefore\begin{cases}a = 13,\\b = 9\end{cases}$或$\begin{cases}a = 6,\\b = 18.\end{cases}$答：该日销售$A$款足球$13$个，$B$款足球$9$个或$A$款足球$6$个，$B$款足球$18$个.
24. (10 分)关于$x$，$y$的二元一次方程组，如果方程组的解$x$，$y$满足$|x - y| = 1$，我们就说方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”.
(1)方程组$\begin{cases}x + 2y = 7, \\ x = y + 1\end{cases}$的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”？请说明理由.
(2)若方程组$\begin{cases}4x - y = 6, \\ 2x + y = 4m\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”，求$m$的值.
(3)已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + ay = 7, \\ 2y - x = 5,\end{cases}$其中$a$与$x$，$y$都是正整数，该方程组的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出$a$的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.
(1)方程组$\begin{cases}x + 2y = 7, \\ x = y + 1\end{cases}$的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”？请说明理由.
(2)若方程组$\begin{cases}4x - y = 6, \\ 2x + y = 4m\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”，求$m$的值.
(3)已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + ay = 7, \\ 2y - x = 5,\end{cases}$其中$a$与$x$，$y$都是正整数，该方程组的解$x$与$y$是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出$a$的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由.
答案
24. 解：（1）方程组$\begin{cases}x + 2y = 7,\\x = y + 1\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”. 理由如下：$\begin{cases}x + 2y = 7,①\\x = y + 1,②\end{cases}$将②代入①，得$y + 1 + 2y = 7$，解得$y = 2$. 将$y = 2$代入②，得$x = 3$. 所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 2.\end{cases}$所以$\vert x - y\vert = 1$. 所以方程组$\begin{cases}x + 2y = 7,\\x = y + 1\end{cases}$的解$x$与$y$具有“邻好关系”.
（2）$\begin{cases}4x - y = 6,①\\2x + y = 4m,②\end{cases}$①+②，得$6x = 6 + 4m$，解得$x = 1+\dfrac{2}{3}m$. ②×2 - ①，得$3y = 8m - 6$，解得$y = -2+\dfrac{8}{3}m$. 所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1+\dfrac{2}{3}m,\\y = -2+\dfrac{8}{3}m.\end{cases}$因为方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，所以$\left\vert 1+\dfrac{2}{3}m + 2-\dfrac{8}{3}m\right\vert = 1$，解得$m = 1$或$m = 2$.
（3）$\begin{cases}x + ay = 7,①\\2y - x = 5,②\end{cases}$①+②，得$(2 + a)y = 12$，解得$y=\dfrac{12}{2 + a}$. 将$y=\dfrac{12}{2 + a}$代入②，得$x=\dfrac{24}{2 + a}-5$. 因为$a$，$x$，$y$都是正整数，所以$2 + a = 3$或$2 + a = 4$. 所以$a = 1$或$2$. 当$a = 1$时，方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 4;\end{cases}$当$a = 2$时，方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 3.\end{cases}$（舍去，$x$，$y$不具有“邻好关系”）综上所述，该方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，此时$a = 1$，方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 4.\end{cases}$
（2）$\begin{cases}4x - y = 6,①\\2x + y = 4m,②\end{cases}$①+②，得$6x = 6 + 4m$，解得$x = 1+\dfrac{2}{3}m$. ②×2 - ①，得$3y = 8m - 6$，解得$y = -2+\dfrac{8}{3}m$. 所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1+\dfrac{2}{3}m,\\y = -2+\dfrac{8}{3}m.\end{cases}$因为方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，所以$\left\vert 1+\dfrac{2}{3}m + 2-\dfrac{8}{3}m\right\vert = 1$，解得$m = 1$或$m = 2$.
（3）$\begin{cases}x + ay = 7,①\\2y - x = 5,②\end{cases}$①+②，得$(2 + a)y = 12$，解得$y=\dfrac{12}{2 + a}$. 将$y=\dfrac{12}{2 + a}$代入②，得$x=\dfrac{24}{2 + a}-5$. 因为$a$，$x$，$y$都是正整数，所以$2 + a = 3$或$2 + a = 4$. 所以$a = 1$或$2$. 当$a = 1$时，方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 4;\end{cases}$当$a = 2$时，方程组的解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 3.\end{cases}$（舍去，$x$，$y$不具有“邻好关系”）综上所述，该方程组的解$x$与$y$具有“邻好关系”，此时$a = 1$，方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 4.\end{cases}$
