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10. 若 $ a = 1 - \sqrt{5} $，试求代数式 $ a^{2} - 2a + 24 $的值.
答案
28
解析
解：
因为 $ a = 1 - \sqrt{5} $，
所以 $ a - 1 = -\sqrt{5} $，
两边平方得 $ (a - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 $，
即 $ a^2 - 2a + 1 = 5 $，
所以 $ a^2 - 2a = 4 $，
则 $ a^2 - 2a + 24 = 4 + 24 = 28 $。
因为 $ a = 1 - \sqrt{5} $，
所以 $ a - 1 = -\sqrt{5} $，
两边平方得 $ (a - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 $，
即 $ a^2 - 2a + 1 = 5 $，
所以 $ a^2 - 2a = 4 $，
则 $ a^2 - 2a + 24 = 4 + 24 = 28 $。
11. 已知 $ x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} $，$ y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $，求下列各式的值：
(1) $ x^{2} + xy + y^{2} $；
(2) $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} $.
(1) $ x^{2} + xy + y^{2} $；
(2) $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} $.
答案
①
首先对$x$和$y$分母有理化：
$x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，
$y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，
计算$x + y$和$xy$：
$x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$，
$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$，
利用代数式变形求$x^{2} + xy + y^{2}$：
$x^{2} + xy + y^{2} = (x + y)^{2} - xy = (2\sqrt{3})^{2} - 1 = 12 - 1 = 11$；
②利用代数式变形求$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$：
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} = \frac{(x + y)^{2} - 2xy}{xy} = \frac{(2\sqrt{3})^{2} - 2 × 1}{1} = 10$；
首先对$x$和$y$分母有理化：
$x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$，
$y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，
计算$x + y$和$xy$：
$x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$，
$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$，
利用代数式变形求$x^{2} + xy + y^{2}$：
$x^{2} + xy + y^{2} = (x + y)^{2} - xy = (2\sqrt{3})^{2} - 1 = 12 - 1 = 11$；
②利用代数式变形求$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$：
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} = \frac{(x + y)^{2} - 2xy}{xy} = \frac{(2\sqrt{3})^{2} - 2 × 1}{1} = 10$；
12. 某居民小区有块形状为长方形 $ ABCD $的绿地，长 $ BC $为 $ \sqrt{128} $m，宽 $ AB $为 $ \sqrt{50} $m，现在要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 $ (\sqrt{13} + 1) $m，宽为 $ (\sqrt{13} - 1) $m.
(1)求长方形 $ ABCD $的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 6 元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
(1)求长方形 $ ABCD $的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 6 元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
答案
(1) $26\sqrt{2}$ m；
(2) 336 元。
解析
(1) 长方形 $ABCD$ 的长 $BC = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ m，宽 $AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ m。
周长 $= 2 × (BC + AB) = 2 × (8\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) = 2 × 13\sqrt{2} = 26\sqrt{2}$ m。
(2)长方形 $ABCD$ 的面积 $= BC × AB = 8\sqrt{2} × 5\sqrt{2} = 80$ 平方米。
两个小长方形花坛的总面积 $= 2 × [(\sqrt{13} + 1) × (\sqrt{13} - 1)] = 2 × (13 - 1) = 2 × 12 = 24$ 平方米。
通道的面积 $= 80 - 24 = 56$ 平方米。
地砖的总费用 $= 56 × 6 = 336$ 元。
最终
周长 $= 2 × (BC + AB) = 2 × (8\sqrt{2} + 5\sqrt{2}) = 2 × 13\sqrt{2} = 26\sqrt{2}$ m。
(2)长方形 $ABCD$ 的面积 $= BC × AB = 8\sqrt{2} × 5\sqrt{2} = 80$ 平方米。
两个小长方形花坛的总面积 $= 2 × [(\sqrt{13} + 1) × (\sqrt{13} - 1)] = 2 × (13 - 1) = 2 × 12 = 24$ 平方米。
通道的面积 $= 80 - 24 = 56$ 平方米。
地砖的总费用 $= 56 × 6 = 336$ 元。
最终
13. 阅读下面计算过程：
$ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 × (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1 $；
$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $；
$ \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{5} - 2 $.
将下列代数式化简：
(1) $ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} $；
(2) $ \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} $（$ n $为正整数）；
(3) $ (\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}})(\sqrt{100} + 1) $.
$ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 × (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1 $；
$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $；
$ \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \sqrt{5} - 2 $.
将下列代数式化简：
(1) $ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} $；
(2) $ \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} $（$ n $为正整数）；
(3) $ (\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}})(\sqrt{100} + 1) $.
答案
(1)
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} &= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \\&= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} \\&= \sqrt{7} - \sqrt{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} &= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} \\&= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n} \\&= \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}})(\sqrt{100} + 1) \\&= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + ··· + \sqrt{99} - \sqrt{98} + \sqrt{100} - \sqrt{99})(\sqrt{100} + 1) \\&= (\sqrt{100} - 1)(\sqrt{100} + 1) \\&= 100 - 1 \\&= 99\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} &= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \\&= \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} \\&= \sqrt{7} - \sqrt{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} &= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})} \\&= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(n + 1) - n} \\&= \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ··· + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}})(\sqrt{100} + 1) \\&= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + ··· + \sqrt{99} - \sqrt{98} + \sqrt{100} - \sqrt{99})(\sqrt{100} + 1) \\&= (\sqrt{100} - 1)(\sqrt{100} + 1) \\&= 100 - 1 \\&= 99\end{aligned}$
