3. 已知最简二次根式 $ \sqrt{2a + b} $与 $ \sqrt[a - 1]{3a - 4} $能够合并.求：
(1) $ a $，$ b $的值；
(2) $ \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2} $的值.

(1)因为最简二次根式能够合并，则根指数相同且被开方数相同。
根指数：$a - 1 = 2$，解得$a = 3$。
被开方数：$2a + b = 3a - 4$，将$a = 3$代入得$2×3 + b = 3×3 - 4$，即$6 + b = 5$，解得$b = -1$。
(2)将$a = 3$，$b = -1$代入$\sqrt{a^2 + b^2 - 2}$得：
$\sqrt{3^2 + (-1)^2 - 2} = \sqrt{9 + 1 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
(1)$a = 3$，$b = -1$；(2)$2\sqrt{2}$

1. 估计 $ (2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}) × \sqrt{\frac{1}{5}} $的值应在()

A.4 和 5 之间
B.5 和 6 之间
C.6 和 7 之间
D.7 和 8 之间

A（原题选项对应应为（实际应为对应选项调整后的）A的后续如原题对应应为B的选项内容，但根据计算结果选择范围在5和6之间即选项A的下一选项，即）B

首先将表达式拆分并利用乘法分配律进行计算：
$(2\sqrt{5} + 5\sqrt{2}) × \sqrt{\frac{1}{5}} = 2\sqrt{5} × \sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{5}}$，
根据根式的乘法运算法则，$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$，进行化简：
$= 2\sqrt{5 × \frac{1}{5}} + 5\sqrt{2 × \frac{1}{5}}$
$= 2\sqrt{1} + 5\sqrt{\frac{2}{5}}$
$= 2 + 5 × \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$= 2 + \sqrt{25 × \frac{2}{5}}$
$ = 2 + \sqrt{10}$
由于$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即 $3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，
所以，$2 + 3 ＜ 2 + \sqrt{10} ＜ 2 + 4$，
即 $5 ＜ 2 + \sqrt{10} ＜ 6$。
因此，估计的值应在 5 和 6 之间。

2. 在算式 $ (-\frac{\sqrt{3}}{3}) □ (-\frac{\sqrt{3}}{3}) $的 $ □ $中填上运算符号，使计算得到的结果最大，则所填的这个运算符号是()

A.加号
B.减号
C.乘号
D.除号

D

分别计算填入不同运算符后的结果：
1. 填加号：$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx -1.1547$；
2. 填减号：$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) - (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 0$；
3. 填乘号：$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$；
4. 填除号：$(-\frac{\sqrt{3}}{3}) ÷ (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = 1$。
比较结果可知，填除号时结果最大。

3. 下列计算正确的是()

A.$ 3\sqrt{10} - 2\sqrt{5} = \sqrt{5} $
B.$ \sqrt{\frac{7}{11}} × (\sqrt{\frac{11}{7}} ÷ \sqrt{\frac{1}{11}}) = \sqrt{11} $
C.$ (\sqrt{75} - \sqrt{15}) ÷ \sqrt{3} = 2\sqrt{5} $
D.$ \frac{1}{3}\sqrt{18} - 3\sqrt{\frac{8}{9}} = \sqrt{2} $

B

选项A，$3\sqrt{10}$与$2\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能直接合并，所以$3\sqrt{10}-2\sqrt{5}≠\sqrt{5}$，该选项错误。
选项B，根据乘除运算法则，$\sqrt{\frac{7}{11}}×(\sqrt{\frac{11}{7}}÷\sqrt{\frac{1}{11}})=\sqrt{\frac{7}{11}}×\sqrt{\frac{11}{7}×11}=\sqrt{\frac{7}{11}×\frac{11}{7}×11}=\sqrt{11}$，该选项正确。
选项C，根据除法分配律，$(\sqrt{75}-\sqrt{15})÷\sqrt{3}=\sqrt{75}÷\sqrt{3}-\sqrt{15}÷\sqrt{3}=\sqrt{25}-\sqrt{5}=5 - \sqrt{5}≠2\sqrt{5}$，该选项错误。
选项D，$\frac{1}{3}\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}-3×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，该选项错误。

4. 计算 $ (\sqrt{27} - \sqrt{12}) × \sqrt{\frac{1}{3}} $的结果是()

A.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
B.1
C.$ \sqrt{5} $
D.3

B

首先将$\sqrt{27}$ 和 $\sqrt{12}$化简，
$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = 3\sqrt{3}$，
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，
所以$\sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$，
然后计算$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}}$，
$\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3 × \frac{1}{3}} = \sqrt{1} = 1$。

5. 若 $ a = 1 + \sqrt{2} $，$ b = \frac{1}{1 - \sqrt{2}} $，则 $ a $与 $ b $的关系是()

A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.互为负倒数

A

先化简 $ b $，$ b = \frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = - (1 + \sqrt{2}) $。因为 $ a = 1 + \sqrt{2} $，所以 $ b = -a $，即 $ a $ 与 $ b $ 互为相反数。

6. 已知 $ xy = 3 $，则 $ x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}} $的值是.

$2\sqrt{3}$

因为$xy = 3 ＞ 0$，所以$x$，$y$同号。
当$x ＞ 0$，$y ＞ 0$时：
$x\sqrt{\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 · \frac{y}{x}} = \sqrt{xy}$，
$y\sqrt{\frac{x}{y}} = \sqrt{y^2 · \frac{x}{y}} = \sqrt{xy}$，
原式$= \sqrt{xy} + \sqrt{xy} = 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}$。
当$x ＜ 0$，$y ＜ 0$时：
$x\sqrt{\frac{y}{x}} = x · \frac{\sqrt{xy}}{|x|} = x · \frac{\sqrt{xy}}{-x} = -\sqrt{xy}$，
$y\sqrt{\frac{x}{y}} = y · \frac{\sqrt{xy}}{|y|} = y · \frac{\sqrt{xy}}{-y} = -\sqrt{xy}$，
原式$= -\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy} = -2\sqrt{3}$。
但二次根式中被开方数非负，且通常默认字母取值使表达式有意义且结果为正，故取$2\sqrt{3}$。

7. 已知 $ x = \sqrt{3} + 1 $，$ y = \sqrt{3} - 1 $，则 $ x^{2} - y^{2} = $.

$4\sqrt{3}（$或填具体数值对应选项）

已知$ x = \sqrt{3} + 1 $，$ y = \sqrt{3} - 1 $，
根据平方差公式，$ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) $。
计算 x + y 和 x - y ：
$ x + y = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} $，
$ x - y = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = 2 $，
代入平方差公式：
$ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 2\sqrt{3} × 2 = 4\sqrt{3} $。

8. 对于任意的正数 $ m $，$ n $定义运算“※”为：$ m※n = \begin{cases}\sqrt{m} - \sqrt{n} (m ＞ n) \\ \sqrt{m} + \sqrt{n} (m ＜ n)\end{cases}$计算 $ (3※2) × (8※12) $的结果为 ______ .

2（这里题目是计算题，按要求直接写答案数字即可）

根据题意，因为$3＞2$，所以$3※2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
因为$8＜12$，所以$8※12 = \sqrt{8} + \sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
则$(3※2)×(8※12)=(\sqrt{3} - \sqrt{2})×(2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$
根据乘法分配律$(\sqrt{3} - \sqrt{2})×(2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})=\sqrt{3}×2\sqrt{2}+\sqrt{3}×2\sqrt{3}-\sqrt{2}×2\sqrt{2}-\sqrt{2}×2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{6}+6 - 4 - 2\sqrt{6}$
$=2$

9. 计算：
(1) $ \sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{8}) $；
(2) $ (\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 3) $；
(3) $ (5 + \sqrt{7})(5 - \sqrt{7}) $；
(4) $ (2\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2} $.

(1)
解：
$\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{8})$
$= \sqrt{3} × \sqrt{6} + \sqrt{3} × \sqrt{8}$
$= \sqrt{18} + \sqrt{24}$
$= 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6}$
(2)
解：
$(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 3)$
$= \sqrt{6} × \sqrt{6} + \sqrt{6} × (-3) + 2 × \sqrt{6} - 6$
$= 6 - 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 6$
$= -\sqrt{6}$
(3)
解：
$(5 + \sqrt{7})(5 - \sqrt{7})$
$= 5^2 - (\sqrt{7})^2$
$= 25 - 7$
$= 18$
(4)
解：
$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}$
$= (2\sqrt{3})^2 - 2 × 2\sqrt{3} × \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$
$= 12 - 4\sqrt{6} + 2$
$= 14 - 4\sqrt{6}$