一、利用二次根式的性质化简求值
例 1 已知$-3 ＜ x ＜ 2$，化简$\vert x - 2\vert - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$。
【探究点拨】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = \vert a\vert$及绝对值的性质化简即可。
【规范解答】$\because -3 ＜ x ＜ 2$，
$\therefore x - 2 ＜ 0$，$x - 3 ＜ 0$，$2x - 5 ＜ 0$，
$\therefore \vert x - 2\vert - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$
$= 2 - x - (3 - x) + (5 - 2x)$
$= 4 - 2x$。

$4 - 2x$

$\because -3 ＜ x ＜ 2$，
$\therefore x - 2 ＜ 0$，$x - 3 ＜ 0$，$2x - 5 ＜ 0$，
$\vert x - 2\vert - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$
$= (2 - x) - \vert x - 3\vert + \sqrt{(2x - 5)^2}$
$= 2 - x - (3 - x) + \vert 2x - 5\vert$
$= 2 - x - 3 + x + (5 - 2x)$
$= 4 - 2x$。

例 2 已知$a$，$b$为实数，且$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{10 - 2a} = b + 4$，求$a$，$b$的值。
【探究点拨】先根据二次根式有意义的条件求出$a$的值，进而可得出$b$的值。
【规范解答】由题意$\begin{cases}a - 5 ≥ 0 \\ 10 - 2a ≥ 0\end{cases}$，
$\therefore a = 5$，$\therefore b + 4 = 0$，$\therefore b = -4$。

由题意得：
$\begin{cases}a - 5 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解不等式组：
由$a - 5 ≥ 0$得$a ≥ 5$；
由$10 - 2a ≥ 0$得$2a ≤ 10$，即$a ≤ 5$。
所以$a = 5$。
将$a = 5$代入原式得：$\sqrt{5 - 5} + 2\sqrt{10 - 2×5} = b + 4$，即$0 + 0 = b + 4$，解得$b = -4$。
$a = 5$，$b = -4$

二、二次根式中的规律

答题卡：
题目类型：二次根式中的规律
假设题目具体内容为（因原题未明确，这里假设一个典型例题）：
观察下列各式：
$①\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 × 2}$
$②\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 × 3}$
$③\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 × 4}$
$\ldots$
根据以上规律，探索$\sqrt{1 + \frac{1}{(n - 1)^{2}} + \frac{1}{n^{2}}}$（$n≥2$且$n$为整数）的结果，并用含正整数$n$的式子表示。
解答：
根据给出的各式，我们可以假设：
$\sqrt{1 + \frac{1}{(n - 1)^{2}} + \frac{1}{n^{2}}} = 1 + \frac{1}{(n - 1)n}$（其中$n≥2$且$n$为整数）。
证明如下：
左边$= \sqrt{1 + \frac{1}{(n - 1)^{2}} + \frac{1}{n^{2}}}$
$= \sqrt{\frac{n^{2}(n - 1)^{2} + n^{2} + (n - 1)^{2}}{n^{2}(n - 1)^{2}}}$
$= \sqrt{\frac{n^{2}(n - 1)^{2} + 2n(n - 1) + 1}{n^{2}(n - 1)^{2}}}$
$= \sqrt{\frac{\lbrack n(n - 1) + 1\rbrack^{2}}{\lbrack n(n - 1)\rbrack^{2}}}$
$= \frac{n(n - 1) + 1}{n(n - 1)}$
$= 1 + \frac{1}{n(n - 1)}$
= 右边。
所以，答案为$1 + \frac{1}{(n - 1)n}$（其中$n≥2$且$n$为整数）。

例 3 先观察下列等式，再解答问题：
$a_1 = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{1 × 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})$；
$a_2 = \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} = \frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{2 × 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$；
$a_3 = \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} = \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{3 × 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$。
(1)根据$a_1$，$a_2$，$a_3$的规律，直接写出$a_4 = \sqrt{1 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2}}$的值；
(2)猜想$a_n = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n + 1)^2}} = \frac{n(n + 1) + 1}{n(n + 1)} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)} = $；
(3)计算$a_1 + a_2 + a_3 + ··· + a_{2026}$的值。
【探究点拨】(1)根据前几个等式的变化规律解答即可；(2)根据前几个等式的左右式子变化与序号$n$的关系求解即可；(3)灵活运用(2)中变化规律求解即可。
【规范解答】(1)$a_4 = \sqrt{1 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2}} = 1 + \frac{1}{4 × 5} = \frac{21}{20}$。
(2)原式$= 1 + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$。
(3)原式$= 1 + (1 - \frac{1}{2}) + 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ··· + 1 + (\frac{1}{2026} - \frac{1}{2027})$
$= 2026 + (1 - \frac{1}{2027})$
$= 2026 + \frac{2026}{2027}$
$= 2026\frac{2026}{2027}$。

(1)
$a_4 = \sqrt{1 + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2}} = 1 + \frac{1}{4 × 5} = \frac{21}{20}$
(2)
$a_n = \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n + 1)^2}} = \frac{n(n + 1) + 1}{n(n + 1)} = 1 + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$
(3)
$a_1 + a_2 + a_3 + ··· + a_{2026}$
$= 1 + (1 - \frac{1}{2}) + 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ··· + 1 + (\frac{1}{2026} - \frac{1}{2027})$
$= 2026 + (1 - \frac{1}{2027})$
$= 2026 + \frac{2026}{2027}$
$= 2026\frac{2026}{2027}$