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1. 若$a$，$b$为实数，且满足$\sqrt{a - 2b - 5} + (a + b - 2)^2 = 0$，则$ab$的值为()
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.以上都不对
A.$-3$
B.$0$
C.$3$
D.以上都不对
答案
A
解析
因为$\sqrt{a - 2b - 5} ≥ 0$，$(a + b - 2)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{a - 2b - 5} + (a + b - 2)^2 = 0$，所以$\begin{cases}a - 2b - 5 = 0 \\ a + b - 2 = 0\end{cases}$。解方程组，由第二个方程得$a = 2 - b$，代入第一个方程：$2 - b - 2b - 5 = 0$，即$-3b - 3 = 0$，解得$b = -1$，则$a = 2 - (-1) = 3$。所以$ab = 3×(-1) = -3$。
2. 已知$x + y = \sqrt{3}$，$xy = \sqrt{6}$，则$x^2y + xy^2$的值为()
A.$2\sqrt{3}$
B.$9$
C.$3\sqrt{2}$
D.$6$
A.$2\sqrt{3}$
B.$9$
C.$3\sqrt{2}$
D.$6$
答案
C
解析
根据提公因式法，将$x^2y + xy^2$分解为$xy(x + y)$的形式，已知$x + y = \sqrt{3}$，$xy = \sqrt{6}$，代入可得：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y) = \sqrt{6} × \sqrt{3} = 3\sqrt{2}$。
$x^2y + xy^2 = xy(x + y) = \sqrt{6} × \sqrt{3} = 3\sqrt{2}$。
3. 如果$a + \sqrt{a^2 - 2a + 1} = 1$，那么$a$的取值范围是()
A.$a = 0$
B.$a = 1$
C.$a ≤ 1$
D.$a = 0$或$a = 1$
A.$a = 0$
B.$a = 1$
C.$a ≤ 1$
D.$a = 0$或$a = 1$
答案
C
解析
$\sqrt{a^2 - 2a + 1} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$，原方程可化为$a + |a - 1| = 1$。当$a ≥ 1$时，$|a - 1| = a - 1$，方程变为$a + a - 1 = 1$，$2a = 2$，$a = 1$；当$a ＜ 1$时，$|a - 1| = 1 - a$，方程变为$a + 1 - a = 1$，$1 = 1$，恒成立。综上，$a ≤ 1$。
4. $\sqrt{12}$与最简二次根式$5\sqrt{a + 1}$是同类二次根式，则$a$的值为()
A.$11$
B.$3$
C.$2$
D.$5$
A.$11$
B.$3$
C.$2$
D.$5$
答案
C
解析
$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，因为$\sqrt{12}$与$5\sqrt{a + 1}$是同类二次根式，所以$a + 1 = 3$，解得$a = 2$。
5. $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - 3x} + 3$，则$xy =$()
A.$-15$
B.$-9$
C.$9$
D.$15$
A.$-15$
B.$-9$
C.$9$
D.$15$
答案
D
解析
要使二次根式有意义，则被开方数非负，可得：
$x - 5 ≥ 0$，解得$x ≥ 5$；
$15 - 3x ≥ 0$，即$3x ≤ 15$，解得$x ≤ 5$。
所以$x = 5$。
将$x = 5$代入$y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - 3x} + 3$，得$y = 0 + 0 + 3 = 3$。
则$xy = 5×3 = 15$。
$x - 5 ≥ 0$，解得$x ≥ 5$；
$15 - 3x ≥ 0$，即$3x ≤ 15$，解得$x ≤ 5$。
所以$x = 5$。
将$x = 5$代入$y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{15 - 3x} + 3$，得$y = 0 + 0 + 3 = 3$。
则$xy = 5×3 = 15$。
6. 把$(2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}}$根号外面的因式移到根号内，结果是。
答案
$-\sqrt{a - 2}$
解析
由二次根式有意义的条件得：$a - 2 ＞ 0$，即$a ＞ 2$，所以$2 - a ＜ 0$。
$(2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}} = - (a - 2)\sqrt{\frac{1}{a - 2}} = - \sqrt{(a - 2)^2 · \frac{1}{a - 2}} = - \sqrt{a - 2}$
$(2 - a)\sqrt{\frac{1}{a - 2}} = - (a - 2)\sqrt{\frac{1}{a - 2}} = - \sqrt{(a - 2)^2 · \frac{1}{a - 2}} = - \sqrt{a - 2}$
7. 已知当$a$取某一范围内的实数时，代数式$\sqrt{(2 - a)^2} + \sqrt{(a - 3)^2}$的值是一个常数(确定值)，则这个常数是。
答案
1
解析
$\sqrt{(2 - a)^2} + \sqrt{(a - 3)^2} = |2 - a| + |a - 3|$。当$2 ≤ a ≤ 3$时，$|2 - a| = a - 2$，$|a - 3| = 3 - a$，原式$= (a - 2) + (3 - a) = 1$，为常数。
8. 已知$x = \frac{5}{2}$，化简$\sqrt{(x - 2)^2} + \vert x - 4\vert$的结果是；当$x$时，$\sqrt{(2x - 1)^2} = 1 - 2x$。
答案
2；$x≤\frac{1}{2}$（（或小于等于$\frac{1}{2}$））
解析
1. 当$x = \frac{5}{2}$时，
先看$\sqrt{(x - 2)^2}$，因为$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，所以$\sqrt{(x - 2)^2}=\vert x - 2\vert$，把$x = \frac{5}{2}$代入可得$\vert\frac{5}{2}-2\vert=\frac{1}{2}$。
再看$\vert x - 4\vert$，把$x = \frac{5}{2}$代入$\vert\frac{5}{2}-4\vert=\vert-\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{2}$。
则$\sqrt{(x - 2)^2}+\vert x - 4\vert=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
2. 对于$\sqrt{(2x - 1)^2}=1 - 2x$，
因为$\sqrt{(2x - 1)^2}=\vert 2x - 1\vert$，要使$\vert 2x - 1\vert=1 - 2x$，根据绝对值的性质，当$a≤0$时，$\vert a\vert=-a$，所以$2x - 1≤0$，解得$x≤\frac{1}{2}$。
先看$\sqrt{(x - 2)^2}$，因为$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，所以$\sqrt{(x - 2)^2}=\vert x - 2\vert$，把$x = \frac{5}{2}$代入可得$\vert\frac{5}{2}-2\vert=\frac{1}{2}$。
再看$\vert x - 4\vert$，把$x = \frac{5}{2}$代入$\vert\frac{5}{2}-4\vert=\vert-\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{2}$。
则$\sqrt{(x - 2)^2}+\vert x - 4\vert=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
2. 对于$\sqrt{(2x - 1)^2}=1 - 2x$，
因为$\sqrt{(2x - 1)^2}=\vert 2x - 1\vert$，要使$\vert 2x - 1\vert=1 - 2x$，根据绝对值的性质，当$a≤0$时，$\vert a\vert=-a$，所以$2x - 1≤0$，解得$x≤\frac{1}{2}$。
9. 若$\sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$(1 + \sqrt{2}a)b$的值为。
答案
1
解析
因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$\sqrt{2}$的整数部分$a=1$，小数部分$b=\sqrt{2}-1$。则$(1 + \sqrt{2}a)b=(1+\sqrt{2}×1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2 - 1^2=2 - 1=1$
10. 将$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$按下列方式排列。若规定$(m, n)$表示第$m$排从左到右第$n$个数，则$(5, 4)$与$(15, 7)$表示的两数之积是。
$\begin{array}{lllll}1 & & & & \mathrm{第一排} \\\sqrt{2} & \sqrt{3} & & & \mathrm{第二排} \\\sqrt{6} & 1 & \sqrt{2} & & \mathrm{第三排} \\\sqrt{3} & \sqrt{6} & 1 & \sqrt{2} & \mathrm{第四排} \\\sqrt{3} & \sqrt{6} & 1 & \sqrt{2} & \sqrt{3} \mathrm{ 第五排} \\··· & & & &\end{array}$
$\begin{array}{lllll}1 & & & & \mathrm{第一排} \\\sqrt{2} & \sqrt{3} & & & \mathrm{第二排} \\\sqrt{6} & 1 & \sqrt{2} & & \mathrm{第三排} \\\sqrt{3} & \sqrt{6} & 1 & \sqrt{2} & \mathrm{第四排} \\\sqrt{3} & \sqrt{6} & 1 & \sqrt{2} & \sqrt{3} \mathrm{ 第五排} \\··· & & & &\end{array}$
答案
1. 确定数字排列规律：观察可知数字按1，√2，√3，√6循环，周期为4。
2. 计算(m,n)对应序号：第m排第n个数的序号为前(m-1)排数字总数加n，即$\frac{m(m-1)}{2}+n$。
3. 求(5,4)表示的数：
前4排总数：$1+2+3+4=10$，序号为$10+4=14$。
$14÷4=3······2$，余数2对应循环节第2个数√2。
4. 求(15,7)表示的数：
前14排总数：$\frac{14×15}{2}=105$，序号为$105+7=112$。
$112÷4=28$，余数0对应循环节第4个数√6。
5. 两数之积：√2×√6=√12=2√3。
2√3
2. 计算(m,n)对应序号：第m排第n个数的序号为前(m-1)排数字总数加n，即$\frac{m(m-1)}{2}+n$。
3. 求(5,4)表示的数：
前4排总数：$1+2+3+4=10$，序号为$10+4=14$。
$14÷4=3······2$，余数2对应循环节第2个数√2。
4. 求(15,7)表示的数：
前14排总数：$\frac{14×15}{2}=105$，序号为$105+7=112$。
$112÷4=28$，余数0对应循环节第4个数√6。
5. 两数之积：√2×√6=√12=2√3。
2√3
11. （1）若实数$a$，$b$满足$\vert a + 4\vert + \sqrt{b - a - 5} = 0$，求$a^2 + 9b$的算术平方根；
（2）已知实数$a$，$b$在数轴上对应点的位置如图所示。化简：$\sqrt{a^2} - \sqrt{(a - b)^2} + \sqrt[3]{(b - 2)^3}$。
$\begin{tikzpicture}\draw[-＞] (-3,0) -- (2.5,0) ;\foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2}\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[below] {\x};\filldraw (-2.5,0) circle (2pt) node[above] {$a$};\filldraw (1.5,0) circle (2pt) node[above] {$b$};\end{tikzpicture}$
（2）已知实数$a$，$b$在数轴上对应点的位置如图所示。化简：$\sqrt{a^2} - \sqrt{(a - b)^2} + \sqrt[3]{(b - 2)^3}$。
$\begin{tikzpicture}\draw[-＞] (-3,0) -- (2.5,0) ;\foreach \x in {-3,-2,-1,0,1,2}\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[below] {\x};\filldraw (-2.5,0) circle (2pt) node[above] {$a$};\filldraw (1.5,0) circle (2pt) node[above] {$b$};\end{tikzpicture}$
答案
（1）5；（2）-2。
解析
（1）∵|a+4|≥0，√(b - a - 5)≥0，且|a + 4| + √(b - a - 5) = 0，
∴a + 4 = 0，b - a - 5 = 0，
解得a = -4，b = 1。
∴a² + 9b = (-4)² + 9×1 = 16 + 9 = 25，
25的算术平方根是5。
（2）由数轴知：a ＜ -2，1 ＜ b ＜ 2，
∴a ＜ 0，a - b ＜ 0，b - 2 ＜ 0。
√a² = |a| = -a，√(a - b)² = |a - b| = b - a，∛(b - 2)³ = b - 2，
∴原式 = -a - (b - a) + (b - 2) = -a - b + a + b - 2 = -2。
∴a + 4 = 0，b - a - 5 = 0，
解得a = -4，b = 1。
∴a² + 9b = (-4)² + 9×1 = 16 + 9 = 25，
25的算术平方根是5。
（2）由数轴知：a ＜ -2，1 ＜ b ＜ 2，
∴a ＜ 0，a - b ＜ 0，b - 2 ＜ 0。
√a² = |a| = -a，√(a - b)² = |a - b| = b - a，∛(b - 2)³ = b - 2，
∴原式 = -a - (b - a) + (b - 2) = -a - b + a + b - 2 = -2。
