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12. 已知$x = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{2}$，$y = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{2}$。
（1）分别求$x + y$，$xy$的值；
（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：
①$x^2y + xy^2$；②$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。
（1）分别求$x + y$，$xy$的值；
（2）利用（1）的结果求下列代数式的值：
①$x^2y + xy^2$；②$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。
答案
（1）$x + y = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{2} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{2} = \frac{2\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11}$；
$xy = (\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{2})(\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{2}) = \frac{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2}{4} = \frac{11 - 7}{4} = 1$。
（2）①$x^2y + xy^2 = xy(x + y) = 1 × \sqrt{11} = \sqrt{11}$；
②$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(\sqrt{11})^2 - 2 × 1}{1} = 11 - 2 = 9$。
$xy = (\frac{\sqrt{11} + \sqrt{7}}{2})(\frac{\sqrt{11} - \sqrt{7}}{2}) = \frac{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2}{4} = \frac{11 - 7}{4} = 1$。
（2）①$x^2y + xy^2 = xy(x + y) = 1 × \sqrt{11} = \sqrt{11}$；
②$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy} = \frac{(\sqrt{11})^2 - 2 × 1}{1} = 11 - 2 = 9$。
13. 阅读材料：为解方程$(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$，我们可以将$x^2 - 1$看作一个整体，然后设$x^2 - 1 = y$，那么原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$①，解得$y_1 = 1$，$y_2 = 4$。
当$y = 1$时，$x^2 - 1 = 1$，即$x = \pm\sqrt{2}$。
(1)当$y = 4$时，$x^2 - 1 =$，$\therefore x^2 =$，$\therefore x =$。
综上，原方程的解为$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$，$x_3 =$，$x_4 =$。
(2)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。请利用以上知识解决：若$(m^2 + n^2 - 2)(m^2 + n^2) = 8$，求$m^2 + n^2$的值。
当$y = 1$时，$x^2 - 1 = 1$，即$x = \pm\sqrt{2}$。
(1)当$y = 4$时，$x^2 - 1 =$，$\therefore x^2 =$，$\therefore x =$。
综上，原方程的解为$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$，$x_3 =$，$x_4 =$。
(2)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想。请利用以上知识解决：若$(m^2 + n^2 - 2)(m^2 + n^2) = 8$，求$m^2 + n^2$的值。
答案
(1) 4；5；$\pm\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$；$-\sqrt{5}$
(2) 设$t = m^2 + n^2$，则原方程化为$(t - 2)t = 8$，即$t^2 - 2t - 8 = 0$。因式分解得$(t - 4)(t + 2) = 0$，解得$t_1 = 4$，$t_2 = -2$。因为$m^2 + n^2 ≥ 0$，所以$t = -2$舍去，故$m^2 + n^2 = 4$。
(2) 设$t = m^2 + n^2$，则原方程化为$(t - 2)t = 8$，即$t^2 - 2t - 8 = 0$。因式分解得$(t - 4)(t + 2) = 0$，解得$t_1 = 4$，$t_2 = -2$。因为$m^2 + n^2 ≥ 0$，所以$t = -2$舍去，故$m^2 + n^2 = 4$。
14. 观察下列各式，并解答下列问题：
第$1$个等式：$\frac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$；
第$2$个等式：$\frac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}$；
第$3$个等式：$\frac{1}{3\sqrt{4} + 4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}}$。
$···$
(1)写出第$4$个等式：；
(2)猜想第$n$个等式：；
(3)根据上述规律，计算$\frac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} + ··· + \frac{1}{99\sqrt{100} + 100\sqrt{99}}$。
第$1$个等式：$\frac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} = \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$；
第$2$个等式：$\frac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}}$；
第$3$个等式：$\frac{1}{3\sqrt{4} + 4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}}$。
$···$
(1)写出第$4$个等式：；
(2)猜想第$n$个等式：；
(3)根据上述规律，计算$\frac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} + ··· + \frac{1}{99\sqrt{100} + 100\sqrt{99}}$。
答案
(1)第$4$个等式：$\frac{1}{4\sqrt{5} + 5\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$。
(2)第$n$个等式：$\frac{1}{n\sqrt{n + 1} + (n + 1)\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$。
(3)
$\frac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} + ··· + \frac{1}{99\sqrt{100} + 100\sqrt{99}}$
$=( \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} ) + ( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} ) + ··· + ( \frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}} )$
$= 1 - \frac{1}{\sqrt{100}}$
$= 1 - \frac{1}{10}$
$ = \frac{9}{10}$
(2)第$n$个等式：$\frac{1}{n\sqrt{n + 1} + (n + 1)\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$。
(3)
$\frac{1}{\sqrt{2} + 2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} + ··· + \frac{1}{99\sqrt{100} + 100\sqrt{99}}$
$=( \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} ) + ( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} ) + ··· + ( \frac{1}{\sqrt{99}} - \frac{1}{\sqrt{100}} )$
$= 1 - \frac{1}{\sqrt{100}}$
$= 1 - \frac{1}{10}$
$ = \frac{9}{10}$
