例1 下列命题中，正确的是()

A.有一个角是 $ 60^{\circ} $ 的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.有两边相等的平行四边形是菱形
D.有两个角相等的平行四边形是菱形
【思路导析】根据菱形的定义进行判定.
【请你解答】.

B

A. 有一个角是$60^{\circ}$的平行四边形，其角度虽然特定，但并不能保证四边相等，因此不一定是菱形。故A选项错误。
B. 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形即是菱形。故B选项正确。
C. 平行四边形中，仅仅有两边相等并不能判定其为菱形，因为平行四边形的对边总是相等的。故C选项错误。
D. 平行四边形中，如果两个角相等，这并不能保证四边相等，因此不一定是菱形。实际上，在平行四边形中，如果两个角相等，那么它可能是一个矩形，但不一定是菱形。故D选项错误。

例2 能判定一个四边形是菱形的是()

A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形
【思路导析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
【请你解答】.

C

根据菱形的判定定理，对各选项逐一分析：
A选项，对角线相等的四边形，不一定是菱形，例如等腰梯形对角线相等，但不是菱形，所以A选项错误。
B选项，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，比如一般四边形（非平行四边形等特殊四边形）对角线互相垂直，但不是菱形，所以B选项错误。
C选项，对角线互相垂直平分的四边形，先由对角线互相平分得出四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该四边形是菱形，所以C选项正确。
D选项，对角线相等且互相平分的四边形，由对角线互相平分可知是平行四边形，再结合对角线相等，可判定是矩形，而不是菱形，所以D选项错误。

例3 下列说法，正确的是()

A.有两条邻边相等的四边形是菱形
B.有两条边平行的四边形是菱形
C.有两条边互相垂直的平行四边形是菱形
D.四条边相等的四边形是菱形
【思路导析】四条边相等的四边形是菱形.
【请你解答】.

D

根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，对各选项分析判断：
选项A：有两条邻边相等的四边形不一定是菱形，比如一般的筝形（非平行四边形的邻边相等的四边形），所以该选项错误。
选项B：有两条边平行的四边形可能是梯形，不一定是菱形，所以该选项错误。
选项C：两条对角线互相垂直（而不是两条边互相垂直）的平行四边形是菱形，有两条边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，所以该选项错误。
选项D：四条边相等的四边形是菱形，该选项正确。

例4 如图， $ O $ 为矩形 $ ABCD $ 对角线的交点， $ DE // AC $， $ CE // BD $.

(1) 试判断四边形 $ OCED $ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $ AB = 6 $， $ BC = 8 $，求四边形 $ OCED $ 的面积.
【探究点拨】由 $ DE // AC $， $ CE // BD $ 可判定四边形 $ OCED $ 是平行四边形，再由矩形的对角线相等且互相平分可证 $ OC = OD $.
【规范解答】(1) $ \because DE // AC $， $ CE // BD $，
$ \therefore DE // OC $， $ CE // OD $，
$ \therefore $ 四边形 $ OCED $ 为平行四边形.
（平行四边形的定义）
又四边形 $ ABCD $ 是矩形，
$ \therefore AC = BD $，且 $ OC = \frac{1}{2}AC $， $ OD = \frac{1}{2}BD $.
（矩形的性质）
$ \therefore OC = OD $，
$ \therefore □ OCED $ 为菱形. （菱形的定义）
(2) 连接 $ OE $， $ \because OB // CE $， $ OB = OD = CE $，
$ \therefore OBCE $ 是平行四边形.
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
$ \therefore OE = BC = 8 $.
又 $ CD = AB = 6 $，
$ \therefore S_{\mathrm{四边形}OCED} = S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $.

(1) 菱形；(2) $24$。

(1) 四边形 $OCED$ 是菱形。理由如下：
$\because DE // AC$，$CE // BD$，
$\therefore DE // OC$，$CE // OD$，
$\therefore$ 四边形 $OCED$ 是平行四边形。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
$\therefore AC = BD$，且 $OC = \frac{1}{2}AC$，$OD = \frac{1}{2}BD$，
$\therefore OC = OD$，
$\therefore$ 平行四边形 $OCED$ 是菱形。
(2) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$AB = 6$，$BC = 8$，
$\therefore CD = AB = 6$，$BC = 8$，矩形 $ABCD$ 的面积为 $AB × BC = 6 × 8 = 48$。
$\because O$ 是矩形 $ABCD$ 对角线的交点，
$\therefore S_{△ OCD} = \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{4} × 48 = 12$。
$\because$ 菱形 $OCED$ 的面积是 $△ OCD$ 面积的 2 倍，
$\therefore S_{四边形OCED} = 2 × 12 = 24$。